機率論是一門套用非常廣泛的學科。在數學史上,它的產生是以帕斯卡和費馬在1654 年的七封通信為標誌的。由於這些信件中所解決的問題多是與賭博有關的點數問題,因此人們總是把機率論的產生歸功於賭博這項機遇遊戲。但考古學發現告訴我們,賭博遊戲早在文明初期就已經存在了,迄今已有幾千年的歷史,而機率論從誕生至今不過三百餘年,這說明賭博並不是機率論產生的決定性條件。在從賭博出現到機率論產生之間的這段“空白”期,必定還有一些十分關鍵的因素正在孕育之中。那么這些因素是什麼? 換句話說,需要具備哪些先決條件,機率論才能得以形成?
一 獨立隨機過程的出現
對機率論而言,兩個最主要的概念就是獨立性和隨機性[1 ] 。機率論是從研究古典概型開始的,它所涉及的研究對象是大量的獨立隨機過程。通過對這些過程中出現的問題的解決,機率理論體系才逐漸地建立起來。因此要考察機率論的產生條件,我們首先應當對獨立隨機過程的產生有充分的了解。
事實上,這種過程的雛形早在原始社會就已經存在了,那時的占卜師們使用動物的趾骨作為占卜工具,將一個或多個趾骨投擲出去,趾骨落地後的不同形狀指示神對人事的不同意見。由於投擲趾骨這個過程所產生的結果具有不可預測性,而每次投擲的結果也互不影響,這與我們今天投擲骰子的基本原理相當,因此趾骨可以被看作是骰子的雛形。但是由於趾骨形狀的規則性較差,各種結果出現的機率不完全相同(即不具備等可能性) ,所以趾骨產生的隨機過程還不是我們今天意義上的獨立隨機過程。加之趾骨作為一種占卜工具,其本身具有神聖的地位,普通人不可能輕易使用,這也在某種程度上阻礙了人們對隨機過程的認識。
隨著社會的進步和文明的發展,骰子變得越來越普遍,不僅數量增多,規則性也日益精良,此時它已不再是一件神聖的器具而逐漸成為普通大眾的日常用具。從原理上看,只要一枚骰子是質地均勻的,它就可以產生一系列標準的獨立隨機過程。這些過程具備良好的性質(獨立性、隨機性、等可能性) ,是進行機率研究的理想對象。如果經常接觸這些隨機過程,就很有可能從中發現某些規律性。實際上,通過對骰子的研究我們確實發現了一些有趣的現象。在考古出土的骰子當中,有一些被證明是用於賭博的工具,它們的形狀規則而質地卻不均勻,也就是說,骰子的重心並不在其幾何中心。可以想像,如果骰子的某一面較重,則其對面朝上的機率就會增大,這種骰子明顯是為了賭博時用於作弊。而從另一個角度看,如果古代人知道質地不均勻的骰子產生各個結果的可能性不同,那么他們必定清楚一個均勻的骰子產生任何一個結果的機率是相等的。也就是說,經常從事賭博的人必然可以通過大量的遊戲過程,意識到擲骰子所得到的結果具有某種規律性,並且這種規律性還可以通過改變骰子的質地而得到相應的改變。雖然古代人的這些意識還只停留在經驗總結的水平上,卻不得不承認這是一種最原始的機率思想。
賭博遊戲存在的時間之長、範圍之廣、形式之多令人驚訝。但有如此眾多的人沉迷於這種遊戲活動,也在客觀上積累了大量的可供學者進行研究的隨機過程。更為重要的是,
在進行賭博的過程中,或許是受到經濟利益的驅使,已經開始有人試圖解開骰子的奧秘。義大利數學家卡爾達諾就是其中的一位。他本人是個大賭徒,嗜賭如命,但他卻具有極高的數學天分。在賭博的過程中,卡爾達諾充分發揮了他的數學才能,研究可以常勝不輸的方法。據說他曾參加過這樣一種賭法:把兩顆骰子擲出去,以每個骰子朝上的點數之和作為賭的內容。那么,賭注下在多少點上最有利?
兩個骰子朝上的面共有36 種可能,點數之和分別為2～12 共11 種,從上圖可知,7 位於此六階矩陣的對角線上,它出現的機率為6/ 36 = 1/ 6 ,大於其他點數出現的機率,因此卡爾達諾預言說押7 最好。這種思想今天看來很簡單,但在當時卻是很傑出的。他還以自己豐富的實踐經驗為基礎,寫成了全面探討賭博的《機遇博奕》(liber de ludo aleae 英譯為the book of game of chance) 一書,書中記載了他研究賭博的全部成果,並且明確指出骰子應為“誠實的”(honest) ,即六個面出現的機會相等,以便在此基礎上研究擲多粒骰子的等可能結果數[2 ] 。
這些實例充分說明,賭博曾對機率論的產生起過積極的作用。這可能就是人們在談到機率論時總是把它與賭博聯繫在一起的緣故吧。但是我們應該認識到,賭博的價值並不在於其作為一種遊戲的娛樂作用,而在於這種機遇遊戲的過程實際上就是良好的獨立隨機過程。只有出現了獨立隨機過程,機率論才有了最初的研究對象。而機率論也的確是在解決機遇遊戲中出現的各種問題的基礎上建立起自己的理論體系的。因此在機率論的孕育期,可以作為一種模型進行研究的機遇遊戲過程即獨立隨機過程的出現是機率論得以產生的一個重要前提條件。
二 先進計數系統的出現
前面曾經提到,獨立隨機過程的出現並不是機率論誕生的決定性因素。代寫職稱論文 僅有機率思想而不能將機率結果表達出來,也不能形成完整的理論。機率論是一門以計算見長的數學分支,計算過程中需要運用大量的加法和乘法原理(組合數學原理) 進行純數字運算。對於現代人來說,機率計算並不是一件難事。但是對於16 世紀以前的人來說,計算卻是十分困難的,原因就在於古代缺乏簡便的計數系統。當時的計數符號既繁瑣又落後,書寫和使用都很不方便,只能用來做簡單的記錄,一旦數目增大,運算複雜,這些原始的符號就盡顯弊端了。而沒有簡便的計數符號,進行機率計算將是十分困難的事,因此計數符號是否先進也在一定程度上決定著機率論的形成。
對於這一點,現代人可能不容易體會得到,究竟古代的計數符號複雜到什麼程度呢? 我們可以以古羅馬的計數系統為例來說明。
古羅馬的計數系統是一種現在最為人們熟悉的簡單分群數系,大約形成於紀元前後。羅馬人創造了一種由7 個基本符號組成的5 進與10 進的混合進制記數法,即
i v xl c d m
15 1050 100 500 1000
在表示其他數字時採取符號重複的辦法,如ⅲ表示3 ,xx表示20 ,cc表示200 等。但如果數字較大表示起來就相當複雜了,比如:1999 =mdcccclxxxxviiii
後來為了簡化這種複雜的表示法,羅馬人又引進了減法原則,即在一個較大的單位前放一個較小單位表示兩者之差,如ⅳ表示4 ,cm表示900 ,則1999 =mcmxcix
如果要計算235 ×4 = 940 ,現代的豎式是
而公元8 世紀時英國學者阿爾琴演算同一道題的過程則要複雜得多:古羅馬數字對於這樣一個既不含分數和小數,數字又很簡單(只有三位數) 的乘法運算處理起來尚且如此複雜,可以想像,即使數學家有足夠的時間和耐心,要解決機率計算里涉及的大量純數字運算也是一件太耗費精力的事。在這種情況下想要作出成果,數學家們的時間不是用來研究理論而只能是忙於應付這些繁重的計算工作了。顯然古羅馬的計數系統並不適合於進行計算,而事實上,歐洲的代數學相比幾何學而言遲遲沒能發展起來,很大程度上也是由於受到這種落後的計數系統的限制。不僅僅是古羅馬數字,在人類文明史上出現過的其他幾種計數系統(如古埃及、古巴比倫等的計數系統) 也由於符號過於複雜,同樣不能承擔進行大量計算的任務。