一、隨機變數的概念
前一章建立了隨機事件及其機率的概念。我們發現有些試驗的結果，直接表現為數量。比如，在抽樣檢驗產品中，出現廢品的個數；在供電問題中，人們關心的是在某段事件內，同時工作的車床數目；射擊時彈著點與目標的距離等。儘管有些試驗的結果沒有直接表現為數字，但我們仍然可以用數字來表示它。比如，一次試驗中，試驗成功記為1，試驗失敗記為0；產品檢驗中，優質品記為2，次品記為1，廢品記為0等等。由此可見，對於任何一個試驗的各種基本結果，都可以用數量與之對應。
儘管由於隨機因素的作用，試驗的結果有多種可能性，但是對於試驗的每一個結果ω，都可以用一個實數x(ω)來表征:試驗的結果不同,x(ω)可能取不同值,因而是一個變數,故x(ω)是試驗結果的函式.我們稱這種變數x(ω)為隨機變數,簡記為x.
隨機變數作為樣本點的函式，有兩個基本特點，一是變異性：對於不同的試驗結果，它可能取不同的值，因此是變數而不是常量；二是隨機性：由於試驗中究竟出現哪種結果是隨機的，因此該變數究竟取何值是在試驗之前，事先無法確定的，直觀上，隨機變數就是取值具有隨機性的變數。
根據取值情況隨機變數可以分為兩大類：離散型和非離散型。離散型隨機變數的所有可能取值為有限個或至多無窮可列個；非離散型隨機變數的情況比較複雜，它的所有可能取值不能夠一一列舉出來。其中的一種對於實際套用最重要，稱為連續型隨機變數，其值域為一個或若干個有限或無限區間。今後我們主要研究離散型和連續型兩種隨機變數。
二、離散型隨機變數的機率分布
定義2.1：如果隨機變數x只可能取有限個或至多可列個值，則稱x為離散型隨機變數。
定義2.2：設x為離散型隨機變數，它的一切可能取值為x1，x2，……，xn，……，記
p=p｛x=xn｝,n=1,2……(2.1)
稱(2.1)式為x的機率函式，又稱為x的機率分布，簡稱分布。
離散型隨機變數的機率分布有兩條基本性質：
(1)pn≥0n=1,2,…
(2)∑pn=1
對於集合｛xn,n=1,2,……｝中的任何一個子集a,事件“x在a中取值”即“x∈a”的機率為
p｛x∈a｝=∑pn
特別的，如果一個試驗所包含的事件只有兩個，其機率分布為
p｛x=x1｝=p(0<p<1)
p｛x=x2｝=1-p=q
這種分布稱為兩點分布。 如果x1=1,x2=0,有
p｛x=1｝=p
p｛x=0｝=q
這時稱x服從參數為p的0-1分布，它是離散型隨機變數分布中最簡單的一種。由於是數學家伯努利最先研究發現的，為了紀念他，我們也把服從這種分布的試驗叫伯努利試驗。習慣上，把伯努利的一種結果稱為“成功”，另一種稱為“失敗”。
三、連續型隨機變數的機率密度
定義2.3對於隨機變數x，如果存在一個非負可積函式f(x),-∞<x<+∞，使對於任意兩個實數a，b(a<b)都有
p｛a<x<b｝=f(x)在a,b區域內的定積分 (由於排版水平過於低下，只有這樣了，^o^)
則稱x為連續型隨機變數，稱f(x)為x的機率分布密度函式，簡稱機率密度或分布密度，簡記為x～f(x).
(1)f(x)≥0，對任何x∈(-∞，+∞)
(2)f(x)在(-∞，+∞)的區間內積分為1.
定義2.4如果連續型隨機變數x的機率密度f(x)為
①1/(b-a)a≤x≤b
②0其他
則稱x服從區間[a,b]上的均勻分布。
由定義可以看出服從均勻分布的隨機變數，其機率密度函式在整個區間[a,b]上恆等於一個常數，並且這個常數就是該區間長度的倒數1/(b-a)。均勻分布是連續型隨機變數中最簡單的一種分布，也是常用的重要連續型分布之一。
四、隨機變數的分布函式
離散型隨機變數由其一切可能值和它取各個值的機率來描繪，連續型隨機變數由機率密度函式來描繪。離散型和連續型，是實際中最重要的兩類隨機變數。但是除這兩類隨機變數外，還存在既不是離散型也不是連續型的隨機變數。分布函式是機率論中重要的研究工具，它可以用於描繪包括離散型和連續型在內的一切類型的隨機變數。
定義2.5設x是任意一個隨機變數，稱函式
f(x)=p｛x<x｝,-∞<x<+∞
為隨機變數x的分布函式。
f(x)包括下列性質：
1，0≤f(x)≤1(-∞<x<+∞)；
2，f(x)是x的單調不減函式；
3，f(-∞)=lim(x→-∞)f(x)=0, f(+∞)=lim(x→+∞)f(x)=1；
4，f(x)至多有可列個間斷點，並且在其間斷點處也是右連續的，即對於任何實數x,
f(x+0)=f(x)
五、隨機變數的機率分布密度函式和分布函式的聯系
1，對於離散型隨機變數，p｛x=xn｝=pn,n=1,2,……
有f(x)=∑pn(xn≤x)
2，對於連續型隨機變數，p｛x=xn｝=pn,-∞<n<+∞
有f’(x)=f(x)
注意要點：1，離散型分布和連續型分布的區別；
2，機率密度函式與分布函式的聯繫與區別。