活學活用之乘法分配律

活學活用之乘法分配律

上周數學培優課老師布置了這么幾道數學題：

1、(a+2b)3

2、(2a-b)5

3、(a+b)7

4、(a-b)5

5、(a+b)5

我這人比較喜歡偷懶，但不是一般的偷懶，而是總想找個捷徑。我便一遍又一遍的看起這幾道題來，看多了我還真發現有規律可循：這幾道題可以歸結為(a+b)n的形式，如果能列出(a+b)n展開後的代數式，那一切的問題便都迎刃而解了。找到了目標，我便踏上了尋找規律的漫長的路。

我從(a+b)2=a2+2ab+b2開始著手，得出：

(a+b)3=(a+b)(a+b)2

=(a+b)(a2+2ab+b2)

=a3+3a2b+ab2+a2b+2ab2+b3

=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=(a+b)(a+b)3

=(a+b)(a2+3a2b+3ab2+b2)

=a4+3a3b+3a2b2+ab3+a3b+3a2b2+3ab3+b4

=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

(a+b)5=(a+b)(a+b)4

=(a+b)(a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4)

=a5+4a4b+6a3b2+4a2b3+ab4+a4b+4a3b2+6a2b3+4ab4+b5

=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

(a+b)6=(a+b)(a+b)5

=(a+b)(a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5)

=a6+5a5b+10a4b2+10a3b3+5a2b4+ab5+a5b+5a4b2+10a3b3+10a2b4+5ab5+b6

=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

(a+b)7=(a+b)(a+b)6

=(a+b)(a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6)

=a7+6a6b+15a5b2+20a4b3+15a3b4+6a2b5+ab6+a6b+6a5b2+15a4b3+20a3b4+15a2b5+6ab6+b7

=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7

推導到此處，我發現了(a+b)n展開式中，各項的字母次方和均為n，但依然沒有發現各項的係數有什麼規律。但隱隱約約感覺到當n為奇數和偶數時各有不同。聰明的你能告訴我嗎？

不過我所掌握的對付老師留下的作業已是小菜一碟了。

如：  (a+2b)3

=a3+3a2(2b)+3a(2b)2+(2b)3

=a3+6a2b+12ab2+8b3

(2a-b)5

=(2a)5+5(2a)4(-b)+10(2a)3(-b)2+10(2a)2(-b)3+5(2a)(-b)4+(-b)5

=32a5-80a4b+80a3b2-40a2b3+10ab4-b5

看，複雜的題是否已經變得簡單了！