正多邊形的有關計算的教案 篇1
一、教學目的
1、鞏固上一堂所學知識，以便熟練正確運用。
2、訓練學生把實際問題抽象為數學問題，並能準確進行計算的能力。
二、教學重點、難點
重點：正多邊形的有關計算化歸為解直角三角形的問題。
難點：把實際問題抽象為數學問題並進行計算的能力。
三、教學過程
複習提問
1、正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形，試說出這些直角三角形全等的道理。
2、正三角的內切圓半徑、外接圓半徑和高的`比為。
引入新課
上一課我們已經初步掌握了利用定理把正多邊形計算問題轉化為解直角三角形問題的方法和技能、這一堂我們還要繼續熟悉和鞏固這種方法，並聯繫實際解決一些比較簡單的實用問題。
新課
這是一堂習題課，方式、方法可以靈活多樣，以期激發學生學習興趣，調動其學習積極性。
例2在一種聯合收割機上，撥禾輪的側面是正五邊形(課本圖7-88)，測得這個正五邊形的邊長是48cm，求它的半徑R5和邊心距r5(精確到0、1cm)。
引導學生把撥禾輪的側面輪廓線畫成一個邊長為48cm(按一定比例縮小)的正五邊形，作出相應的Rt△OAF，解之可得R5(斜邊)和r5(一直角邊)。
告訴學生，輪廓線在正多邊形的機械零件圖、裝飾圖案等各種尺寸的計算問題中經常遇到，要仿照這個例子進行計算。
如圖1，尋找解題思路時，根據△AOB的特殊性，即∠AOB=36°，∠OAB=∠OBA=72°、若能作出∠OBA的平分線，則立刻可得兩個相似△OAB和△BAM，據此列出關於R的二次方程，問題獲解。
這就是第二冊中學過的黃金分割、黃金分割重要的實用價值和理論意義，例如在優選中就有一種重要的方法，即所謂0.618法就是這種原理、對於有餘力的學生，可讓其閱讀教科書第二冊中的讀一讀“黃金分割”。
正多邊形的有關計算的教案 篇2
教學目的：
1、使學生學會將正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角 、周長、面積等有關 的計算問題轉化為解直角三角形的問題.
2、通過定理的證明過程培養學生觀察能力、推理能力、概括能力；
3、通過一定量的計算，培養學生正確迅速的運算能力；
教學重點：
化正多邊形的有關計算為解直角三角形問題定理；正多邊形計算圖及其套用.
教學難點：
正確地將正多邊形的有關計算問題轉化為解直角三角形的問題解決、綜合運用幾何知識準確計算.
教學過程：
一、新課引入：
前幾課我們學習了正多邊形的定義、概念、性質，今天我們來學習正多邊形的有關計算.
大家知道正多邊形在生產和生活中有廣泛的套用性，伴隨而來的有關正多邊形計算問題必然擺在大家的面前，如何解決正多邊形的計算問題，正是本堂課研究的課題.
二、新課講解：
哪位同學回答，什麼叫正多邊形.(安排中下生回答：各邊相等，各角相等的多邊形.)
什麼是正多形的邊心距、半徑？(安排中下生回答：正多邊形內切圓的半徑叫做邊心距.正多邊形外接圓的半 徑叫做正多邊形的半徑.)
正多邊形的邊有什麼性質、角有什麼性質？(安 排中下生回答：邊都相等，角都相等.)
什麼叫正多邊形的中心角？(安排中下生回答：正多邊形的一邊所對正多邊形外接圓的圓心角.)
正n邊形的中心角度數如何計算？(安排中下生回答：中心角的度數
正n邊形的一個外角度數如何計算？(安排中下生回答：
一個外角度
哪位同學有所發現？(安排舉手學生：正n邊形的中心角度數=正n邊形的一個外角度數.)
哪位同學記得n邊形的內角和公式？(請回憶起來的學生回答).
哪位同學能根據n邊形內角和定理和正n邊形的性質給出求正n邊形一個內角度數的公式？(安排中下生回答：正n邊形每個內角度數
正n邊形的每個內角與它有共同頂點的外角有何數量關 系？(安排中下生回答：互補).
根據正n邊形的每個內角與它有共同頂點的外角的互補關係和正n邊形每個外角度數公式，正n邊形每個內角度數又可怎樣計算？(安排中
(幻燈展示練習題，學生思考，回答)
1.正五邊形的中心角度數是____ __；每個內角的度數是______；
2.一個正n邊形的一個外角度數是360，則它的邊數n=______，每個內角度數 是__ ____；
3.一個正n邊形的一個內角的度數是140，則它的邊數n=______，中心角度數是______.
對於前2題安排中下生回答，對於第3題不僅要回答題目的答案而且要求回答思路.
解此方程n=9.
幻燈展示正三角形、正方形、正五邊形、正 六邊形.如下圖，讓學生邊觀察、邊回答老師依次提出的問題、邊思考.
1.觀察每個圖形的半徑，分別將它們分割成多少個什麼樣子的三角形？(安排中下生回答：等腰三角形)
2.觀察每個圖形中所得的三角形具有什麼關係？為什麼？(安排中等生回答：全等，依據( S.S.S)或(S.A.S))
3.將上述四個圖形的觀察與思考推而廣之，你得出了什麼結論？哪位同學說說自己的想法(安排中上生回答：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個全等的等腰三角形.)
套上幻燈片的複合片：作出各等腰三角形底邊上的高，如下圖，安排學生觀察、思考並回答以下問題：
1.這些等腰三角形的每一條高都將每個等腰三角形分割為兩個直角三角形，這兩個直角三角形全等嗎？為什麼？(安排中下生回答)
2.這些等腰三角形的高在正多邊形中的名稱是什麼？(安排中下生回答： 邊心距)
3.正n邊形的 n條半徑、n條邊心距將正n邊形分割成全等直角三角形的個數是多少？(安排中等生回答：2n個)
給出定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形.
再套幻燈片的複合片，如圖7-140，安排學生觀察每個 直角三角形都由正多邊形的哪些元素組成 .
安排中下生回答：直角三角形的斜邊是正多邊形的半徑R、一條直角邊是正多邊形的邊心距.另一直角邊是正多邊形邊長的一半(在此安排中等生回答：為什麼？)半徑與邊心距的 夾角是正多邊形一個中心角的一半.(安排中等生回答“為什麼？”)
講解：由於這個直角三角形融合了正多 邊形諸多元素，所以就可將正多邊形有關半徑、邊心距、邊長、中心角的計算問題歸結為解直角三角形的問題來解決.
幻燈給出正多邊形抽象的計算圖，教師講解：
由於正多邊形的有關計算都歸結為解直角三角形的問題來解決，所以我們只要畫出這個 直角三角形就可以了，其餘就不畫或略畫.圖中R表示半徑，rn表示正n邊形的邊心距，an表示正n邊形的邊長，an表示正n邊形的中心角.
提問：對於給定具 體邊數的正n邊形，你首先可以求出直角三角形
(教師講解)：直角三角形中一銳角已知，所以只要再給直角三角形的R、rn、an其中一項賦值就可求出其它元素.例如：(幻燈展示題目)
例1 已知：如下圖，正△ABC的邊心距r3=2.
求：R、a3.
問：要解此題，首先要做什麼？(找中等生回答：畫出基本計算圖)
最後要做什麼工作：(找中上生回答：選擇三角函 數)
解：
∵n=3
又
完成下列各題：(幻燈展示題目)
1.已知，正方形ABCD的邊長a4=2.
求：R，r4.
2.已知：正六邊形ABCDEF的半徑 R=2，
求：r6，a6.
(對於計算正確且較快的學生，讓他們自擬試題進行計算，教師重點輔導需要幫助的學生)
再回到例1，問：你會求這個正三角形的周長P3嗎？怎么求？為什麼這樣求？(安排中等生回答 ：邊長3，因為正三角形 三邊相等).
再問：你會求這個正三角形的面積S3嗎？怎么求？為什麼這樣求？(安排中 等生回答：直角△AOC的面積6，由定理可知這樣的直角三角形的個數是邊數的2倍.或者，等腰△ AOB的面積3，由定理可知選擇的等腰三角形的個數與邊數相同.)
請同學們分別計算上述二題的周長和面積(計算快而準的學生讓其自擬題目再練習)[
(幻燈給出例2)：已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個正六邊形的邊長a6、周長P6和面積S6.
(提問)：1.首先要作什麼？(安排中下生回答：畫基本計算圖)
2.然 么？(安排中下生回答：選擇三角函式)
P6=9 R.
通過上面計算，你得出正六邊形的半徑與邊長有什麼數量關係？(安排中下生回答：相等)希望大家記住這個結論：a6=R，因為它不僅有利於計算而且是尺規畫正六邊形的依據.
三、課堂小結：
哪位同學能說一下，這堂課我們都學習了什麼知識？(安排中等生歸納)
1.化正多邊形的有關計算為解直角三角形問題定理，2.運用正多
角計算.
四、布置作業
正多邊形的有關計算的教案 篇3
教學目標：
(1)進一步研究正多邊形的計算問題，解決實際套用問題;
(2)通過正十邊形的邊長a10與半徑R的關係的證明，學習邊計算邊推理的數學方法;
(3)通過解決實際問題，培養學生簡單的數學建模能力;
(4)培養學生用數學意識，滲透理論聯繫實際、實踐論的觀點.
教學重點:
套用正多邊形的基本計算圖解決實際套用問題及代數計算的證明方法.
教學難點:
例3的證明方法.
教學活動設計：
(一)知識回顧
(1)方法：運用將正多邊形分割成三角形的方法，把正多邊形有關計算轉化為解直角三角形問題.
(2)知識：正三角形、正方形、正六邊形的有關計算問題，.
組織學生填寫教材P165練習中第2題的表格.
(二)正多邊形的套用
方法是基本的幾何計算知識之一，掌握這些知識，一方面可以為學生進一步學習打好基礎，另一方面，這些知識在生產和生活中常常會用到，掌握後對學生參加實踐活動具有實用意義.
例2、在一種聯合收割機上，撥禾輪的側面是正五邊形，測得這個正五邊形的邊長是48cm，求它的半徑R5和邊心距r5(精確到0.1cm).
解：設正五邊形為ABCDE，它的中心為點O，連線OA，作OFAB，垂足為F，則OA=R5，OF=r5，AOF=.
∵AF=(cm)，R5=(cm).
r5=(cm).
答：這個正多邊形的半徑約為40.8cm，邊心距約為33.0cm
建議：①組織學生，使學生主動參與教學;②滲透簡單的數學建模思想和實際套用意識;③對與本題除解直角三角形知識外，還要主要學生的近似計算能力的培養.
以小組的學習形式，每個小組自己舉一個實際生活中的例子加以研究，班內交流.
例3、已知：正十邊形的半徑為R，求證：它的邊長.
教師引導學生：
(1)AOB=?
(2)在△OAB中，A與B的度數?
(3)如果BM平分OBA交OA於M，你發現圖形中相等的線段有哪些?你發現圖中三角形有什麼關係?
(4)已知半徑為R，你能不通過解三角形的方法求出AB嗎?怎么計算?
解：如圖，設AB=a10.作OBA的平分線BM，交OA於點M，則
AOB=2=36，OAB=3=72.
OM=MB=AB=a10.
△ OAB∽△BAM OA:AB=BA:AM，即R :a10=a10:(R- a10)，整理，得
，(取正根).
由例3的結論可得.
回顧：黃金分割線段.AD2=DCAC，也就是說點D將線段AC分為兩部分，其中較長的線段AD是較小線段CD與全線段AC的比例中項.頂角36角的等腰三角形的底邊長是它腰長的黃金分割線段.
反思：解決方法.在推導a10與R關係時，輔助線角平分線是怎么想出來的解決方法是複習等腰三角形的性質、判定及相似三角形的有關知識.
練習P.165中練習1
(三)總結
(1)套用解決實際問題;
(2)綜合代數列方程的方法證明了.
(四)作業
教材P173中8、9、10、11、12.
探究活動
已知下列圖形分別為正方形、正五邊形、正六邊形，試計算角的大小.
探究它們存在什麼規律?你能證明嗎?