我國著名科學家錢學森說：“靈感，也就是人在科學或藝術創作中的高潮，突然出現的、瞬時即逝的短暫思維過程.”唯物論者也承認靈感，但它不是上帝的恩賜，而是人們在實踐活動中逐步形成或培養出來的一種不同常人的高效率、大跨度創造性思維的表現.靈感是緊張的創造性活動和長期艱苦勞動的結果.
數學靈感是人腦對數學對象結構關係的一種突發性的領悟.在解答數學難題時，通常會遇到這樣的情況：儘管從多角度、用各種方法去進行探索，但百思不得其解.可正在“山窮水盡疑無路”之際，靈感出現了，從而創造了“柳暗花明又一村”的美的境界.
靈感與創造思維、靈感與數學發現究竟有何聯繫?我們可看看下面幾位數學家的數學靈感與數學發現的情況.
法國數學家笛卡兒，早就有把相互獨立的代數與幾何結合起來的願望，經過長時期的思考，但未找到合適的方法.1619年隨軍服務時他仍在思考.11月9日，在多瑙河畔的諾伊堡，他幾天來整日沉迷在思考之中而不得其解，入睡後連作數夢，夢中迷迷糊糊地想到引入直角坐標系的方法.第二天，也即是11月10日清晨，醒後立即將夢中所得加以整理，終於創造了解析幾何學，笛卡爾獲得了成功，但他醞釀時間為1617～1619年，約為兩年的時間.
法國著名數學家龐加萊在談到他發現富克斯函式的變換方法時回憶說：“1880年有一次我離開當時居住的卡昂去作一次由礦業學校主辦的地質考察旅行.旅途的奔波使我忘掉了我的數學工作，抵達庫特塞斯後，我們乘公共馬車到各處去轉轉，正當我跨上踏板的瞬間，腦子裡突然出現了一個想法，即我曾用來定義富克斯函式的諸變換跟非歐幾何中的諸變換是一致的.”龐加萊回到住址後，馬上把這一結果加以證明.這是在長時間緊張工作之後，思想放鬆時靈感的突然閃現，是經過了約一年時間的苦思之後才獲得成功的.
被稱為數學王子的高斯為證明某一算術定理，曾苦思冥想達兩年之久，後來突然得到一個想法，使他獲得成功.高斯回憶說：“終於在兩天前我成功了……像閃電一樣，謎一下解開了.我自己也說不清楚是什麼導線把原先的知識和我成功的東西連線起來.”儘管解開這個謎的想法是突然來的，但高斯本人經過兩年的艱苦努力才為這個成功的到來做好了準備.
由以上對三位數學家數學靈感的出現而導致數學發現的描述，可以看出這種在長時期持續勞動後的某時刻出現的“突然領悟”是一種非邏輯的高層次的創造活動，亦即靈感思維活動.
靈感是不能靠偶然的機遇、守株待兔式的消極等待可以得到的.必須是執著追求、鍥而不捨、百折不撓，才能有成功的一天.所謂“觸景生情”“靈機一動”“眉頭一皺，計上心來”，都是經過長期堅持不懈地創造性勞動而“偶然得之”的.巴斯加說：“機遇只偏愛有準備的頭腦.”恰恰道出了此中的真諦.