摘要：本文首先對過去幾十年來實物期權方法套用研究進展進行了回顧和總結，並指出了目前在實物期權方法套用中經常出現的一些模糊概念和誤用的問題。通過一些實例的分析和討論，對現有的一些研究結論提出了質疑，指出：由於問題構模及參數定義上的差異，一些在金融期權中成立的定理，如期權價值隨著波動率增加、無風險利率增大或期權期限延長時，是遞增的這一規律對於實物期權的而言可能會失效。並以實物期權在企業r&d投資項目中為例，對這一問題以及與之相關的實物期權構模和參數選擇等問題進行了詳細深入的討論和分析。文章還在對penning and lint（1997）及agliardi elettra（2003）等人的結果擴展的基礎上，給出了當波動率、無風險利率和期權持有成本為時變函式的條件下四種複合期權的解析解，並利用數值計算結果證實了作者的觀點。
關鍵字：實物期權，r&d項目投資決策，複合期權，geske公式，二項式模型；
1 引言
隨著經濟和科技的迅速發展，資本投資的風險和不確定性也大大增加，由於投資決策失誤所產生的後果也越來越嚴重，這就對資本投資決策分析提出了更高的要求。已有大量的文獻指出，以npv為代表的傳統的現金流量分析資本預算方法存在著很多缺點，尤其是在風險和不確定性條件下，傳統的資本預算方法容易導致錯誤的決策。 為解決這一問題，近二十年來，實物期權方法得到了很大的方展。然而，由於實物期權的計算複雜，參數估計也更加困難，目前在使用中仍存在較高難度和問題。而且，有時為了能夠方便套用金融期權模型的計算公式，出現了一些過於簡單和錯誤的構模，也對實物期權方法的套用帶來“不實用”、“難於理解”等不良影響。
本文首先對實物期權的研究文獻進行了回顧，重點就實物期權方法在r&d項目投資決策中的套用進行了分析探討，指出了當前在實物期權方法套用中的經常存在的問題和錯誤。本文重點討論的一個問題是，對實物期權而言，金融期權的一些重要性質：如當波動率增加、或無風險利率增大或期權期限延長時，期權價值是遞增這一規律是否仍然成立？一些文獻對此是肯定的，也有一些文獻對此點的說法是模糊和模稜兩可的，本文通過分析討論和數值例子給出了明確的答案。即由於問題構模不同及參數定義上的差異，一些對於金融期權成立的定理，例如當波動率增加、無風險利率增大或期權期限延長時，期權價值是增加的這一規律對於實物期權的套用而言並非總是成立，實際上，對r&d一類項目而言，其結論恰恰是相反。
本文還通過對penning and lint（1997）及agliardi elettra（2003）等人的結果擴展，推導出了當波動率、無風險利率和期權持有機會成本為時變函式的條件下複合期權的公式解，並給出了數值計算結果。使得實物期權方法能夠更加符合企業多階段分步投資項目決策分析的需要。文章通過一個實例的深入細緻分析，對實物期權方法在r&d項目投資決策套用中的參數設定，計算過程和敏感性分析過程以及相關問題的分析進行了深入討論。這些分析討論和數值計算結果均對作者上述的觀點提供了支持。 由於r&d 投資項目較一般企業投資項目具有更高的不確定性和風險，並且是典型多階段分步投資項目，因此本文的研究及結論，對其他類型的企業投資項目或經營決策項目也有著重要參考價值。
本文的論述結構如下：第1部分為引言；第2部分簡要討論了實物期權的概念及文獻研究綜述；第3部分是討論了如何將實物期權方法與傳統的dcf方法和npv指標結合起來的問題；第4部分是對現有的關於實物期權構模和求解方法的一個簡要歸納和總結；第5部分是通過對一個r&d 投資項目案例的詳細分析和問題討論，提出和驗證了作者的觀點和看法，並給出了複合期權在時變參數下的擴展geske公式解及證明；第6部分是結論和本文的總結。
2 實物期權的概念及文獻研究綜述
2．1 實物期權的概念
金融期權是賦予持有者在未來某一時刻買進或賣出某種金融資產的權利，相應地稱之為買入（看漲）期權或賣出（看跌）期權，該金融資產稱之為標的資產。實物期權是把非金融資產當作標的資產的一類期權，此時期權的交割不是決定是否買進或賣出金融資產而是進行實物投資或出售固定資產。
實物期權的套用，最早可以追溯到古希臘時代。亞里斯多德在其著作中曾講述了這樣的一個故事：希臘“七賢”之一的泰利斯(公元前624?-546?年)在橄欖收穫季節的半年之前，花費很少的錢與那些擁有橄欖榨油機的老闆達成一筆交易，使他能夠獲得以平價的租金優先取得租用這些榨油機的權利。當橄欖豐收之後，橄欖種植者們對榨油機的需求劇增，泰利斯就以高於正常的租金將這些榨油機租借給橄欖種植者們，而他僅向榨油機的老闆支付原來約定的平價租金。泰利斯從中賺取利差，因而獲得了豐厚的收益。如果橄欖歉收，泰利斯則可以放棄行使租用這些榨油機的權利，而結果只會損失很少的一筆定金。在這個故事中，泰利斯購買的是租用這些榨油機的權利，而不是責任和義務。這就是一個古老而典型的實物期權的例子。
實物期權在持有在未來特定的某一天以預定的成本去採取特定的行動（例如：延遲、擴張、縮減、放棄）的一種權利，而非義務。由於具有這種採取行動的權利，因此就有了一種決策上的彈性。與一般的金融期權同樣，實物期權的價值主要受到以下六個變數的影響，又稱為六個槓桿（變數）。因此，可以通過拉動這六個槓桿來提高實物期權的價值 (copeland, 2001)：
槓桿1 增加項目預期收益現值：比如，在市場出現供不應求時，提高產品產量或提高產品銷售價格而增加銷售收入；
槓桿2 減少項目預期費用現值：比如通過提高規模經濟性，或通過協作和聯合降低市場競爭；
槓桿3 增加項目預期價值的不確定性，從而進一步增加了靈活性的價值；這是與淨現值分析方法的重大差異；
槓桿4 延長投資機會的持續時間以提高期權價值。因為它增加了整體的不確定性和靈活性；
槓桿5 等待交割以減少價值損失 在金融期權中直到紅利支付後都是等待的成本(紅利降低了股票價值因此也降低了期權的報酬) ;
槓桿6 提高無風險利率，一般而言，任何對無風險利率上升的預期都會增加期權的價值儘管它因為減少了交割價格的現值而對淨現值產生了負效應。
實物期權的套用範圍很廣，如各種類型的項目投資決策、企業價值評估、技術和無形資產價值評估、創業企業和風險投資評估等等，本文的討論主要圍繞企業r&d投資項目決策為中心。
2．2 實物期權的文獻研究綜述
對於實物期權的研究是伴隨著對以npv法為代表的傳統投資決策的dcf 評價方法（以下簡稱dcf或npv法） 的否定而發展起來的。這正如avinash k. dixit 和robert s. pindyck所指出的：傳統的npv法建立在兩個錯誤的假設之上，該方法假設投資要么是可逆的，要么是不可逆的（也就是說公司現在不投資，以後再也沒有機會）。然而，事實上，很多投資機會不滿足上述兩種假設，在大多數情況下，投資是不可逆的，但是可以被推遲。投資可以被推遲的特性顯然使淨現值法失去了作用。擁有某種投資機會的公司就像是擁有某種金融看漲期權：它有權力但卻不負有義務在它確定的將來某一時刻購買一種資產。傳統的npv法的另一個問題是它忽略了創造的期權的價值。有時，當把一項投資孤立起來評價時，它並不經濟，但是它產生了一個期權，使公司可以在市場條件有利的時候進行投資。”在現實世界裡，當獲得了新的信息或者市場的不確定性得到解決後，原來期望的現金流就有可能會實現。管理者可以根據新出現的信息改變運營戰略，以使未來潛在的收益最大或者減少損失。管理者的這種靈活性—比如說延遲，縮小，擴大或放棄其運營戰略，增加了期望現金流現值npv的價值。
目前，有關實物期權的研究文獻十分繁多，限於篇幅，本文這裡僅列舉其中的一部分，並按照文章內容及發表時間和與按屬性特點區分兩個層面做一歸納。
從文章發表時間上來看，早期的研究可追溯到上世紀50年代，就有人指出傳統投資決策的dcf 評價方法會低估投資機會的實際價值，如 dean（1951）和後來的hertz（1964），magee（1964）， hertz（1964）與magee（1964），hayes & abernathy（1980）等人都提議套用模擬方法及決策樹分析法來考慮管理彈性的價值，以避免採用錯誤的評價技術。hodder & riggs（1985）及hodder （1986）也表示擁護這項觀點，並指出在公司投資決策實務上普遍誤用dcf 法的問題 。
mechin & berg（1980）則認為採用roi 或dcf 評估方法在企業面臨不確定環境與目前的投資在未來將會獲得意外的收穫（副產品）價值的評估上是無效的。
hayes & garvin（1982）根據歷史統計數據指出：使用dcf 評估方法的公司比例從1959 年的19% 增加到1975 年的94% ，但卻使得公司在r&d 費用和資本投資上逐年下降，其原因就是因為dcf 評估方法的準則常會低估投資機會的價值，而導致決策者的短視，造成投資不足，最後可能導致喪失企業競爭力。
donaldson & lorsch（1983）的文章也認為，因為過去的財務理論過於依賴dcf 評價方法，使得財務理論與現實世界中的企業實務層面出現了分歧的現象。
針對摺現dcf 評價方法存在的不足，ross(1978)指出，風險項目潛在的投資機會可視為另一種期權形式——實物期權，並由此引發了對實物期權估價理論的深入探討。
myers（1977，1984）最先提出來將期權定價理論套用到r&d項目價值評估上，他認為，研發的價值幾乎就是期權的價值，因此，用傳統的評價工具如npv 法來評估研發項目將導致戰略錯誤。
kester（1984）也是較早提出用實物期權法評估r&d 投資項目的人之一，他指出r&d 投資項目如同一個買入期權的成長一樣，其r&d 投資方案的潛在價值是被不確定性、投資遞延及利率所影響，並指出期權評價模式比dcf 評價模式更適用於r&d 投資。
kaplan（1986）以cim投資為例，並觀察得出dcf 評估方法使用於具有獲得無形資產價值（管理彈性，學習效果等）的投資評估上是無效的。
trigeorgis and manson（1987) 指出，在傳統之npv或dcf法中是事前對未來的現金流量做估計並假設為不變或靜態的，因此無法衡量未來當不確定因素存在時，而採取修改或遞延決策而帶來的管理彈性。所以就不確定性環境下的投資分析而言，以npv 法評估投資方案可能會得到一個有偏誤的結果。
brealey & myers（1988）建議將期權定價理論套用於r&d 投資方案的評價上，他們發現dcf 法完全無法評估r&d 投資方案，而r&d 投資項目與買入期權極其類似，亦即r&d 投資給予企業在未來一定的時間內一個權利，決定是否執行這項r&d 投資項目，屆時如果研發成功，可為企業創造價值，但若研發失敗，企業損失的僅是有限的最初r&d 投資費用，所以r&d投資費用可視為此期權的權利金。
mitchell & hamilton （1988）將r&d 分為三種類型，並建議使用dcf 法在短期的商業投資評價上，最高層次的方案像”創建一門學問” 不需要套用任何方法來評價，而r&d 一類的中期決策稱之為”策略定位”就類似於買入期權決策。
paddock, siegel & smith （1988）探討沿海石油權的評價，將採礦權的評價以複合期權的方式來建構評價模型，並與傳統dcf 評估法加以對比，對其特點及優劣進行了比較。
sharp（1991） 認為期權定價法對於高風險投資的評價較dcf 法好，並建議不要使用b-s model 來計算價值和做結構上的建議。先用一般dcf 法計算npv 再用期權理論以三個步驟來估計附加價值：
（1） 確認明確的潛在期權並加以分類。
（2） 分析環境的不確定性在期權可能被執行下的情況。
（3） 估計價值的總和。
nichols（1994）運用期權分析法在merck 公司，merck 的cfo 認為使用期權可以比傳統的財務分析法提供更多的彈性來評估研究投資，因為它可以評估連續分階段的投資方案。
pindyck and dixit (1995)認為傳統投資決策準則假定投資決策必須在特定時間點上進行，這樣會導致產生很高的機會成本，而且忽視了選擇延遲決策方式所創造的價值，使得企業暴露在極高的風險下，導致淨現值計算錯誤，進而使整個投資決策產生錯誤。而事實上，投資項目可以等待更多的信息出現後，再進行投資決策。
trigeorgis（1996）認為傳統評價理論已經與真實世界的現實面出現了差異，dcf 法無法適切的捕捉住管理者對於未預期的變化所做出回應的決策彈性，所以公司的決策階層通常會將營運策略的管理彈性視為價值的增加，主動地將其加入到傳統評價模式所估算得出的結果中。
perlitz , peske & schrank （1999）以評價r&d 投資方案為例，說明以npv 模式來評估r&d 投資方案確實會低估投資項目的價值，因為：
（1） npv 模式需要衡量折現率，所以在衡量風險性較高的r&d 投資項目時，會因為加入風險溢價而增加折現率，因而降低了投資方案的價值。相對的，期權評價模式的折現率為無風險利率，以其衡量高風險性的r&d 投資方案時，會因高波動而增加投資方案的價值。
（2） 當投資期間較長時，期權評價模式能因經濟情況的改變而修正其投資決策，但傳統npv 模式則無法衡量其管理彈性。
對於perlitz , peske & schrank的觀點，本文後面還將要加以討論。
我們將目前已經發表論文中的有關實物期權類型、含義與套用範圍加以整理，如表2-1所示。
表2-1 實物期權類型、含義與套用範圍和文獻對照
從表2-1的歸納結果可以看出， 實物期權的屬性主要是美式期權。
從實物期權的套用及與金融期權的對應關係上來看，我們將實物期權與金融期權價值評估中參數的含義做一對照比較，見表2-2所示。
表2-2 實物期權與金融期權比較分析表
在本文中，我們將決策樹法也歸為傳統的dcf法一類，但嚴格說來，決策樹法的分析方法應是介於傳統的dcf法與實物期權法之間的，決策樹法克服了傳統的dcf 法採用同一個風險調整係數去做折現的問題，可以分階段靈活選用不同的折現率。表2-3給出了傳統的dcf法、決策樹法和實物期權法的一個比較。
表2-3 傳統的dcf法、決策樹法及實物期權法的比較
3 傳統的dcf方法和npv指標已經不再需要了嗎？
本文前面提到的（還有許多未提到的）大量的關於實物期權及相關文獻的研究幾乎都一致指出，以npv為代表的傳統的資本預算方法的不適用性，並且會容易導致錯誤的投資決策。這似乎給人一種錯覺：以npv為代表的傳統的資本預算方法已經過時，不再適用了。然而作者認為，這只是一種誤解，而事實上並非如此：實物期權方法的提出，並不意味著傳統的npv和dcf方法不再需要了，而實際上，實物期權方法必須要配合npv指標才能加以使用。實物期權方法並不能夠完全取代npv指標，而只是作為傳統的資本預算npv方法的一個補充和修正。下面，我們通過一個實際例子來進行說明這一點。
例1．假定一個投資項目需要初始投資1200萬元，項目投資基準折現率為10%， 該項目的預期收益現值為1150萬元，因此，npv =1150-1200 = -50萬元。因為npv為負值，按照傳統的投資決策分析方法，該項目應予以捨棄。
如果運用實物期權方法進行分析，根據表2-2，可按照如下方法進行參數設定：標的資產價值v=項目的預期收益現值1150萬元，期權執行價格=項目初始投資1200萬元，無風險利率取基準折現率為10%，並需要進一步給定標的資產價值v即項目的預期收益現值的波動率，這裡我們假定為30%， 期權到期期限t為兩年。分別採用後面第4節中介紹的計算期權價值的b-s-m模型公式和二項式模型，利用excel，可計算得出該投資項目的實物期權價值為274.87萬元。
實物期權價值大於零，這是否意味著項目就可以接受並進行投資了呢？答案是否定的。原因很簡單， 這裡的實物期權價值的274.87萬元，並非是馬上投資項目就能夠產生的，而是恰恰相反，是來自於延遲投資。即在上述實物期權的價值評估中，做出了這樣的一個假定，即投資者可將該項投資延遲至最長期限為兩年之內的任意時刻進行，正是由於具有了這種靈活性和選擇權利，因此才具有了價值。該價值為正值是意味著：我們應當持有進行投資該項目的權利、進行等待和觀望，而不應簡單地拋棄該項目；但這絕非意味著該項目可以接受或馬上可以進行投資。實際上，如果我們將期權到期期限t分別減少至為1年或1天，即意味著比原來的假定提前進行項目投資，重新進行實物期權價值計算，結果正如表3-1所示，其實物期權價值分別降至為167.81萬元和0.02萬元。這是意料之中的結果，因為減小了投資的靈活性和選擇權力，其價值也必然會減小。
表3-1 期權評價的bs模型和二項式模型的計算結果
當考慮了延遲投資時的實物期權因素後，此時的不確定性條件下的投資決策準則應為：
項目調整後的淨價值 = npv + 項目實物期權的價值≥ 0
不難得出，如果接受該項目並馬上進行投資，結果只會導致投資項目的淨收益為0.0 - 50 = - 50.0萬元，這意味著這種投資決策產生了負50萬元的即刻價值損失。根據上式，我們直接可以得出，該項投資應當至少推遲兩個半月（74天），等待新信息的到來，才可能避免造成投資價值損失。
從以上的分析結果可以看出，如若不考慮npv指標，僅根據項目的實物期權的價值計算，則無法對項目投資決策做出正確的判斷。
根據實物期權的性質，我們不難可以總結出運用實物期權方法進行投資決策的準則如表2-3、表2-4所示：
表2-3、 買入（看漲）期權的決策分析
這裡選擇進行繼續等待與按照期權價格出售轉讓投資機會的效果是等價的，而選擇執行或放棄的選擇準則是：凡是在以合理的成本花費就可以擁有繼續等待的機會和權利的話，就應首先選擇前者。
表2-4 賣出（看跌）期權的決策分析
其中，表2-3中的買入（看漲）期權主要用於項目投資決策分析；而表2-4中的賣出（看跌）期權則是指收縮或放棄的期權，主要用於企業的經營活動決策分析。 不難看出，運用實物期權方法進行投資決策必須要配合npv指標方可加以使用，實物期權方法只是作為對傳統的資本預算方法npv指標的一個補充和修正。在很多情況下，實物期權的價值高低尚不足以滿足投資決策的需要，判斷是否進行投資，還需要通過考察項目的npv指標，和動態規劃來判斷等待的最佳停止點即最佳投資時機。當npv為正時，期權價值愈小愈表明應當立即進行投資，期權價值愈大則說明應當等待和推遲投資。當期權價值大於npv時，除非必須通過投資才能維持期權存在的條件下，才應當馬上投資，且投資額必須滿足小於期權價值扣除其他價值損失的剩餘，如負的npv，否則，就應延期進行投資。
然而，這裡的討論一點也並不否定實物期權的價值。實物期權概念的引入的根本價值是在於：將傳統的資本預算方法npv指標的二值判斷：投資或不投資擴充到三維選擇：即現在馬上投資、採取措施保留在今後投資的權利和根本不投資。正是這種三個維度的選擇才使得決策者開始關注最佳投資時機問題，從而更加有利於決策者對投資決策時機做出更好更有效的把握。
4 實物期權構模和求解方法
上節中我們給出了一個運用實物期權方法進行項目投資決策的一個簡單例子，在本節里，我們將對套用實物期權方法對r&d一類的複雜投資項目決策中的套用，包括構模和求解分析，並對實物期權的主要計算方法做一簡要總結和回顧。
4 .1 r&d項目的投資決策分析
研究與開發(r&d)是實施企業長期戰略的重要組成部分,因而合理評價r&d項目投資至關重要。在當今新技術飛速發展的時代背景下，r&d項目，特別是高技術企業的r&d項目具有期限長、不確定性因素多、變化程度劇烈的特點，因而具有極高的不確定性。正如前面眾多文獻已經指出的：傳統的dcf評價方法由於無法考慮投資彈性和經營決策的靈活性，已無法勝任對高技術r&d項目價值的評價，運用實物期權方法對r&d項目投資決策進行分析就成為了必然選擇。
一個r&d項目往往是由一系列不同的階段組成的：研究開發階段(包括基礎研究階段、原型開發和測試階段等)與市場化階段(包括建造生產工廠階段和市場行銷階段等)，在每一個階段，管理者都有延遲、放棄、擴大投資和生產等權利，即包括一個以上的實物期權，其價值實質上是一個多變數、多目標、多階段的複合期權的價值。因此，套用實物期權方法評價r&d項目的價值具有明顯的優越性。
為不失一般性和簡單起見，我們不妨將r&d項目分為三個階段：初始研發階段、中試階段和市場化開發階段。因為市場化開發投資是在項目中試階段成功結束之後開始的， 如果中試階段不成功．將不進行市場化開發投資；而中試投資又是在r＆d研發階段成功結束之後開始的，如果產品研發不成功．則不進行中試投資投資，此時，該r＆d項目的損失僅為r＆d項目t = 0時的初始投資 。在決定是否進行中試投資時刻τ，人們將會進行一個判斷和選擇：該項研發成果是否值得進行中試投資？類似地，在產品市場化開發投資時刻 ，人們又會進行一個判斷和選擇：即該項產品是否還有進行市場化開發投資的價值？它是否可帶來預期的投資回報？ 從上述分析．我們可將r&d投資決策可看作是一系列複合買入（看漲）期權： 為項目的壽命終止時間。在該項目投資過程中，決策者需要在三個關鍵的決策點上做出決策：一是在項目開始時，即圖中的t = 0 時刻決定是否投資 進行研發活動，以獲取進一步開發投資的權利；二是在研發活動取得成功時，即圖中的τ時刻決定是否投資 進行中試活動，以獲取進一步進行市場化開發的機會和權利；三是在中試活動取得成功時，即圖中的 時刻決定是否投資 進行進行市場化開發活動，以實現產品上市和獲取產品銷售收益。從上圖分析我們可以看出，在市場化投資階段 ，企業可以根據市場的實際條件決定是否延遲或者放棄投資機會等權力；同時，由於在初始研發階段的投資，使企業擁有了在市場化階段投資的權利，因此，r&d項目投資決策與典型的複合買入期權完全吻合，複合買入期權的執行價格是市場化開發投資，中試投資是標的資產的執行價格。
實際上，r＆d項目除了由階段化投資所構成的實物期權之外，對項目不同融資結構和融資方式的選擇以及在市場化階段企業的各種經營決策：如增產、擴張、聯合、轉產、停產等，也具有相應實物期權特徵。
如果採用傳統的投資決策分析方法分析r&d項目投資決策，對於投資彈性的處理可看作為一系列序貫投資決策，並採用決策樹法進行求解。下面我們用一個例子加以說明。
例2．這裡我們引用copeland給出的一個例子，如圖2所示。它是一個典型的r＆d項目兩階段投資決策問題。
圖4-2 將r&d研發項目視為序貫投資決策的決策樹圖
這裡，r&d研發階段的成功率分別為：得到最佳產品：10%；得到普通產品：10%；和80%的失敗可能性。第二階段的中試成功和失敗的機率分別為40%和60%。我們假定企業的投資基準折現率為10%，套用決策樹法，可計算得出該項目投資的期望npv= -21.5 萬元。見表4-1所示。因為npv為負值，該項目應予以捨棄。
表4-1 決策樹法的計算結果
我們如果套用實物期權方法分析這個問題，因為本例是一個複合期權問題， 不能採用基本b-s模型進行求解，因此我們採用後面第４部分中介紹的複合期權geske公式進行求解。為了能夠計算期權價格，我們還需要進一步提供項目預期收益現值波動率的數值，在此我們不妨假定其為50%，利用geske公式，可計算得出該r＆d項目的實物期權價值為183.8萬元，扣除項目的初始投資 =150萬元後，得出含有實物期權的npv=33.7萬元, 這意味著該項投資具有33.7萬元的超額價值，因此該項目值得進行投資。
注意這裡與例1的不同在於，如果不進行r&d的初始投資，則項目後來的期權就不存在。因此在這個意義上，對於r&d項目而言，若期權價格大於r&d的初始投資，就可以馬上進行投資，並意味著該投資能夠獲取超額價值。但是否當前就是符合投資收益最大化的最佳投資時機，仍然是不能肯定的。這需要根據對期權價值的動態分析來進一步確定。mcdonald and siegel（1986）給出了最佳投資時機的判別準則，dixit，and pindyck（1994）對此也有專門的討論。本文在這裡不再展開。
4．2 實物期權的求解方法
實物期權的求解主要是利用一些現有的金融期權評價模型和方法成果。為了便於本文後面的分析和討論，我們有必要將目前有關期權評價模型和方法的研究在此做一簡要的歸納和總結。
一般地，金融期權評價模型可分為三大類型：第一類稱之為解析解或公式解，如：b-s(black-scholes option pricing model)公式和計算複合期權的geske公式；第二類為數值分析法，它是利用計算機的快速運算來得出期權理論價格，如二項式期權評價模型(bopm)、蒙特卡羅模擬法等；第三類為近似計算模型，如b-a-w (barone, adesi and whaley)的美式期權模型等。下面分別進行介紹。
4．2．1 解析模型
b-s 模型是解析模型或公式解的典型代表。b-s 評價模型是由兩位美國財務經濟學家布萊克(fischer black)及舒爾斯(myron schoes)於1973 年聯合提出的。此模型被認為奠定了衍生性商品快速發展的基礎。舒爾斯因此而獲得了1997 年的諾貝爾經濟學獎。b-s 模型目前已成為用來評價期權合理價格的衡量標準。將b-s 模型運用於分析實物期權時，則具有下列限制：
（1） b-s模型屬於針對歐式期權作評價，相對於實物期權大多屬於美式期權，故b-s模型的計算結果只可作為其下界。
（2） 假定資產價值波動率固定不變，以及標的資產的價值為常態分配，這可能與實際狀況不同。
除去這些在理論上的限制，b-s 模型有著許多實用上的優點：
（1） b-s 模型較簡易，便於決策者套用，決策者只要將決策問題簡化，歸納出需要設定的變數，便大致上可得出所需要的答案，因此，非常具有實用價值。
（2） b-s 模型很容易與傳統的npv評估方法比較：由於b-s 模型套用在實物期權問題上，和傳統npv 分析法所需的重要變數，如現金流出、流入是相同的，透過兩者的比較，可對決策者的套用或參考具有重要實用價值。
merton對 b-s模型進行了擴展，考慮了股利因素的影響（在實物期權中，股利相當於期權的持有成本）。建立了b-s-m模型，其數學表達式如下：
對前面例1問題，我們有：vt = 1150， x=2000，t-t = 2年 r =10%，δ = 0。 將這些數據代入b-s-m模型，便可得出期權價格及相關其他參數，參見表3-1所示的結果。對於實物期權的求解，除了期權價格之外，下面的5個參數也是非常重要的，因為它可以我們提供一些非常重要的關於期權價格變化敏感性的信息，它們的含義是：
因為對於r&d項目通常需要採用複合期權模型進行構模和評價，因此，我們下面重點對複合期權評價模型進行討論。
4．2．2 複合期權評價的geske公式
複合期權是指以期權為標的資產的期權，即為一種期權的期權（option on option）。此種期權的買方在期初支付期權費用後，即取得在未來某特定時點以約定的價格買進另一固定到期日的期權，這樣總共有：對標的買權的買權（call on call）、對標的買權的賣權（put on call）、對標的賣權的買權（call on put）以及對標的賣權的賣權（put on put）等四種複合期權。
以複合期權對標的買權的買權為例，其到期價值為 c = max [ c(v, x, τ ) – m，0] ，其中：x是標的買入期權的執行價格，m 是複合買入期權的執行價格，其中c(v，x，τ), 是在複合買入期權到期日依據b-s 一般定價公式所決定的標的買入期權價值，標的買入期權的執行價格為x，到期時間為τ。
geske（1979）套用風險中立評價法得到一個連續時間條件下的複合期權的基本偏微分方程，並給出了公式解，對於買權的買權，其求解計算表達式如下：
這裡，當標的期權為買權，則η=1，標的期權為賣權時，則η=-1；當複合期權為買權，則φ=1，複合期權為賣權，則φ= -1。其他參數與原來保持不變。
對前面例2，我們有：η=1，φ=1， v = 0.08´165/1.12， m = 0.08´130 ， x =0.2 ´ 5，t = 2年, τ = 1年 r =10%，σ= 50% , δ = 0。將這些數據代入geske公式，（注意，r＆d項目的初期投資，並不包含在期權計算公式之內），由此可得出期權價格=183.8萬元，這相當於滿足交易公平條件下，獲取未來r＆d項目收益應支付的權利金，由於它大於項目期初投資，表明進行r＆d投資是有利可圖的。
geske公式的特點基本上與前面對b-s 模型的分析結果一致。比如，波動率和利率必須是常數，這種假設常常使得該模型局限性很大，不符合實際套用，針對這一問題，agliardi elettra和agliardi rossella （2003）對此加以擴展，使得波動率和利率可以是時變函式，我們在後面將對此進行討論。
4．2．3 數值解法
期權評價模型的數值解主要包括三種方法，蒙特卡羅模擬法、有限差分法、二項式和三項式評價模型。蒙特卡羅法最早由boyle於1977 年提出，適用歐式期權或複雜的報酬情況(平均式或多變數情形)，不太適合美式期權的評價。而有限差分法由schwartz 於1977 年提出，同時適用於歐式與美式期權的評價。
二項式評價模型由cox, ross, and rubinstein 於1979年提出，boyle (1986)對二項式模型進行了改進，提出了三項式模型。但它們具有類似的特點，主要有以下三點：
（1） 可套用於歐式或美式期權問題求解。
（2） 期權價值不會因資產的預期價格變動而不同。
（3） 期權價值不會因資產的風險偏好差異而不同。
另外，它們還可以處理期權標的物價格不服從對數常態分配的問題。
二項式模型的原理是列舉實物期權在有效期內標的資產所有可能狀態的價值，然後用反向遞推方式解決最優決策問題。它的核心是貝爾曼法則，即無論過去的狀態和決策如何，對未來的決策所決定的狀態而言，未來的決策必須構成最優決策。
二項式模型假定在每一時刻的標的資產價格只有沿著上升或下降兩個方向變動，並假定上升或下降的幅度u和d滿足以下定義：
三項式模型的原理與二項式模型完全一致，但與二項式模型相比，三項式模型的收斂效果更好一些。
二項式和三項式模型對於處理多階段投資問題比連續時間模型更為方便。
4．2．4 近似模型
barone-adesi and whaley (1987)利用二次逼近方法聯合推出美式期權的近似公式解，簡稱b-a-w。近似公式通常與數值模擬法得到的值十分接近，本文不擬對它展開進行討論。不過，需要指出的是，由於實物期權計算過程比較複雜，採用多種模型方法計算，以取得相互驗證效果，是一個較好的選擇，這或許也是可以體現近似模型的實用價值之處。
5 實物期權在企業r&d投資項目決策中的套用
5．1 實物期權模型計算中的參數確定
在影響實物期權的價值的六個關鍵變數中，項目價值v、項目價值v的波動率和無風險利率大小往往對項目實物期權價值具有重要的影響，下面我們簡要討論一下它們的確定方法。
（1）波動率 的確定方法
以企業r&d投資項目為例，項目價值是由項目產品成功上市之後的收益現金流的折現值，在研發剛剛開始之際，對未來的預期有著很大的不確定性，因此，試圖直接確定其波動率是十分困難的。本文建議採用蒙特卡洛模擬技術來解決這一難題。具體做法是：首先通過決策者或專家的經驗估計，對影響項目價值的有關變數，如銷售收入，投資，經營成本，項目壽命期、折現率等參數用三點估計法或專家的意見的統計結果，給出上述參數的變化區間和機率分布（如常態分配、均勻分布等），利用隨機抽樣和計算機上萬次以上的模擬計算，便可計算得出項目收益現值和波動率。此時，項目收益現值v和波動率 是同時得出的。
（2）無風險利率r 的確定
在許多文獻中，對無風險利率大多是建議採用短期國庫券利率，這對計算金融期權是合理的。而對於實物期權的計算而言，由於投資項目的壽命較長，因此，使用短期國庫券利率顯得不夠合理，而採用長期國債利率相對而言，與實物期權的標的資產的壽命期限比較匹配。但在我國的證券市場，由於國債不允許買空賣空，造成市場國債收益率的經常性波動很大，以上證市場010303國債為例，見圖5-1所示，僅在2004的上半年中，價格波動幅度就超過了23%，遠比同期銀行貸款利率的波動率要大的多。 因此，我們認為採用銀行貸款利率作為資產組合的無風險利率更為合理，故選擇一年期銀行貸款利率作為無風險利率。
圖5-1 上證市場010303國債的價格變化（2004-1-2 ~ 2004-7-7）
（3）項目收益現值v的確定
在（1）中，我們建議採用蒙特卡洛模擬技術進行分析確定波動率 ，這樣，項目的收益現值v與波動率 同時被確定出來。不過，前面我們忽略了一個問題，就是如何選擇一個合理的折現率來計算項目的收益現值v？對於採用蒙特卡洛模擬計算技術，這個問題似乎就變得稍微簡單了一些：因為此時我們只要確定一個合理的折現率區間就可以了，這要遠比確定單一數值的折現率相對容易解決。但是，我們建議仍然首先估計出一個單一數值的折現率，然後再設定變化區間。例如，如果投資項目的風險屬於中等風險程度，那么，企業當前的加權資本成本就是一個比較合理的選擇。然而由於企業的r&d投資項目一般是屬於高風險項目，應當參照相應風險等級的投資項目或資產收益率進行合理確定其數值，然後再根據專家調查或歷史數據資料，套用統計分析方法確定出合理的折現率取值區間和分布特徵，然後將其作為蒙特卡洛模擬的初始輸入，並通過模擬計算得出項目的收益現值v的期望值和波動率 。一旦得出結果，就可以根據波動率 的大小，分析判斷初始設定的折現率取值區間是否合理，判斷是否需要進行反饋調整，這樣，經過若干次反饋疊代試算之後，便可將項目的收益現值v，波動率 和折現率取值區間全部一同確定下來。
由於計算實物期權的參數受到較大的主觀因素的影響，因此與常規投資分析類似，對實物期權模型計算結果通常需要進行敏感性分析。並且與傳統dcf分析相比，實物期權的評估價值對不確定性更加敏感，因此，敏感性分析對實物期權法突顯得更加重要。下面，我們將對一個較完整的r&d投資項目決策案例進行分析討論。
5．2 套用案例分析
例3． 某企業為開發一種新產品進行一項r&d投資項目，計畫在研發階段初始投入300萬元，兩年後進行中試再投入1000萬元，第四年末再投資1650萬元進行市場化開發，將於第五年產品上市並開始取得收益。
根據預測和專家判斷，該項目的相關財務參數和收益估計如下：預期該項目產品的壽命為區間數[7，10]年，假定服從均勻分布；項目年銷售收入的期望值為3000萬元，標準差為600萬元，假定服從常態分配, s = n（3000，600）萬元；項目年經營成本的估計期望值為500萬元，標準差為50萬元，假定服從常態分配, co = n（500，50）萬元；項目基準折現率取均值為25%，標準差為5%的的常態分配，i = n（25% ，5%）,無風險利率取一年期的銀行貸款利率 r = 6%，δ = 0，全部r&d和市場化開發投資按照直線折舊法在項目壽命期內折舊或均勻攤銷，期末殘值為零。 利用ox軟體和以上數據，進行10000次蒙特卡洛模擬運算，得到折現到該項目期初時的期望收益現值為 v0 = 2473萬元，下面簡稱v為項目價值, 波動率 = 27% 。 運用傳統的dcf法的npv指標分析， 我們可得：
npv= 2473-350-1000/1.062 – 1650/1.064 = 2473 -2547 = -74萬元
npv為負值，表明該項目不可行。
若採用實物期權法分析，此時，m=1650萬元，x=1000萬元，將相應數據帶入複合期權的geske公式，可計算得出項目的複合期權價值為 c(v,0) = 519.4萬元。這表明，只須初始投入300萬元的研發投資，便可得到519.4萬元的價值，即該研發項目包含實物期權在內的npv（項目超額收益價值）=519.4 -350 = 169.4萬元。與傳統的dcf法的npv指標的結果相比， 兩者之差為243.4萬元。
採用實物期權法計算之所以得出該項r&d投資具有價值，是因為綜合考慮了項目收益的風險，以及擁有可以視市場變化而放棄後面的中試及市場化開發投資的靈活性這一期權的價值。這一分析結果也證實了hayes & garvin 等人的觀點：即運用傳統的dcf法的npv分析準則會常常低估r&d投資機會的價值，造成企業r&d投資的不足。
如果將本案例的r&d項目投資，分解為更多的階段，比如，假定中試投資是在每個半年末分四次進行，其投資現金流如表5-1所示：
表5-1 r&d項目投資現金流
t（年）= 0 0．5 1 1．5 2 2．5 3 3．5 4
cft -350 0 0 0 -250 -250 -250 -250 -1650
對於這種情形，geske公式就顯得無能為力了。此時，需要採用二項式或三項式期權模型進行計算。
當採用二項式模型時，根據定義，我們有：u=1.2104 , d=0.826 ,p=0.5305
據此可計算得出項目的複合期權價值為c(v,0)=545.2萬元，含有實物期權的npv= 545.2 -350 =195.2萬元。較前面的計算，增加了複合期權價值 c(v,0) = 545.2-519.4 = 25.8萬元。 這表明進一步分散和分階段投資，可帶來更大的靈活性並因此而增加收益。表5-2和表5-3給出了二項式模型的計算結果。
表5-2 各節點的項目價值v(t)的變動
這裡，在進一步分散投資之後，運用常規的npv法計算， npv的指標雖有所改善，但仍為負值，說明常規的分析方法仍認為項目不可行。
剩下的問題是，這裡的期權價值較高，是否應推遲研發投資呢？這個問題還需要通過敏感性分析來做出回答。
5．3 項目實物期權價值的敏感性分析
對於r&d投資項目，常見的不確定性因素來自於： 波動率 、無風險利率i 和研發到產品上市時間。下面我們分別對此加以分析。
（一）波動率 和無風險利率i 對項目期權價值的變動影響分析
對於上例，可計算出當波動率v 和無風險利率i 變動時，項目期權價值的變化的情況，見表5-4和圖5-1。
表5-4 項目期權價值c(v,0)變化的雙因素敏感性分析
\ i 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.15 -37% -28% -19% -9% 1%
0.2 -25% -17% -9% 0% 9%
0.25 -12% -5% 3% 11% 19%
0.3 1% 8% 15% 22% 29%
0.35 14% 20% 27% 34% 41%
再由單因素變動分析，可求出當項目價值波動率 減小至7%時，c(v,0) =300， 此時超額收益價值為=0，而當無風險利率i減小至0%時，c(v,0) =311.6萬元， 此時含有實物期權的npv=11.60萬元。這說明項目期權價值對波動率 更加敏感。
從圖1可以看出，項目期權價值隨著項目價值波動率 和無風險利率i 的增加而增加。這一結果與以往的研究結果相一致。然而，接下來的問題是：這一結果是必然的內在規律嗎？以往的研究結果對此似乎是肯定的，因為可以通過期權的計算公式推倒出這一結論。但本文作者認為，這實際上是一種表面上的假象。
圖5-1 項目期權價值的變化的雙因素敏感性分析圖
討論1：對於金融買入期權而言，因為vega 和 rho總為正值，意味著當波動率 和無風險利率r增加，期權價值總是增加的。這在一些文獻對實物期權的討論中，經常也出現類似的情形，就像前面的數值結果和圖5-1所示的那樣，這似乎看來是一種必然的聯繫結果，但實際上是被掩蓋起來的假象。
實際上，對於投資項目而言，實物期權的標的資產是項目的預期收益，而這些發生在將來的收益是以折現至投資開始的那一年年初的折現現值來表示的，當投資決策發生延遲，項目的預期收益也隨之發生了延遲，這意味著其現值將會減少。一些作者如前面已經提到的perlitz , peske & schrank等人建議在實物期權模型中採用無風險利率將項目預期收益將其從期權到期日折現至期權的持有期初，其結果導致了項目投資期權價值的增加。如果對這一點加以分析，就可以發現這其中的可以商榷之處。 我們知道財務學中的一個基本原則，就是現金流的折現率大小應與現金流的風險程度必須相匹配。對於投資項目而言，項目的收益往往比項目的投資具有更大的不確定性和風險，這是因為項目的投資距離決策的時間較近，因此可以比較準確地進行估計，或者可以近似看作是確定性的；而項目的收益則是將來發生的，這一將來的時點延續愈長，就具有更大的不確定性和風險。 在實物期權的計算中，對項目投資是用無風險利率進行折現的（含在期權的計算公式之內），根據上述我們的分析，這一點相對比較合理；而對項目的收益如果也採用無風險利率進行折現就顯得不夠合理了。由於我們在r&d項目投資的實物期權模型構模中，一般都是將期權的到期日設定為項目的市場化投資的發生之時，因此，實物期權模型並未將項目的運營期包括運營期間的決策活動包括在內。因此，用於分析r&d項目投資決策的實物期權模型並不能對項目運營活動期間所存在著經營靈活性的實物期權進行考慮和價值評估。這樣儘管我們能夠意識到它的經營靈活性的實物期權存在，這在前面的分析中也提到了，但在這裡根據我們目前的模型設定，隨著項目的收益波動率 和風險的增大，必須採用不同與無風險利率的折現率對投資項目收益進行折現。
那么，在期權有效期內是否可以採用無風險利率對項目收益進行折現呢？我們的回答同樣是否定的。因為，儘管在期權有效期內，對項目投資通過實物期權模型構造了一個無風險證券組合，但實際上，項目投資的實物期權模型與金融期權之間的一個很大的不同在於，實物期權並沒有實際交易發生，項目的實物投資與金融資產相比是嚴重缺乏流動性的，加之正像我們前面已經提到的，對項目價值起著決定性作用的項目收益是發生在所構造的期權有效期之外，因此，沒有任何管理手段對其進行操控。就r&d項目而言，開發周期愈長，即期權到期日愈長，就意味著未來的市場和收益具有更大的風險，忽視這一風險，採用無風險利率對項目收益進行折現顯然是不合理的。因此，在項目的研究開發期間以及由於研發障礙可能產生的延遲這一期間內，對項目收益現值也不應當採用無風險利率，而是採用與項目的收益風險相對應的風險報酬率進行折現。這樣以來，隨著項目的收益波動率 的增大，意味著項目的收益的風險增大，在不考慮企業經營活動靈活性期權的條件下（實際上是無法考慮），對項目的收益現值需要採用對應的更高的風險利率進行折現。這樣，必然會導致項目的收益現值v的降低。
同理，根據capm，風險折現率等於無風險利率加上風險溢價，當無風險利率增加，在相同風險水平條件下，風險折現率也隨之增加，於是便也同樣導致降低項目的收益現值v。
因此，項目期權價值便成為了兩個作用力互為相反的作用結果：一方面由於波動率 和無風險利率r增加，使得期權價值增加；另一方面，由於風險折現率的增大（往往需要人工調整），使項目的收益現值v減小，對於r&d項目一類的買入期權而言，由於delta 總是為正，故v的減小必然導致期權價值減小。最終結果的項目期權價值究竟向何方變化，則取決於它們雙方各自彈性的大小。不過，由於風險折現率是由人工外生給定的，因此幾乎可以肯定，原來對金融期權成立的定律在實物期權中很有可能會發生失效。
根據以上的分析，我們需要對表5-4 中項目期權價值的變化的雙因素敏感性分析結果增加一項註解，即：當假定當項目的收益現值（初始值）不變的條件下，項目實物期權價值隨著項目價值波動率 和無風險利率i 的增大而增加。然而，正如我們已經指出的，這一假定條件並不一定合理和符合邏輯。
（二）研發成功時間變動對項目期權價值的影響分析
為了分析研發到產品上市時間的變化影響，我們考慮以下四類情形，並採用連續時間的geske公式進行分析：
（1） 研發提前完成：在本例中，我們假定研發提前1年完成，中試階段按計畫2年完成， 即在第3年進行市場化開發：此時項目產品提前一年上市，其結果為：項目價值v0 = 3091.4萬元； 項目期權價值 c(v,0) =829.6萬元，含有實物期權的npv = 479.6萬元；
（2）研發延期完成： 在本例中，我們假定研發延期1年完成，中試階段按計畫2年完成，即在第5年進行市場化開發。
此時，項目產品延期一年上市，其結果為：項目價值v0 = 1978.5萬元； 項目期權價值 c(v,0) =337.9 萬元，此時含有實物期權的npv = -12.1萬元，項目價值出現小額虧損；
（3） 中試提前完成： 在本例中，我們假定研發正常完成，而中試提前1年完成，即在第3年時進行市場化開發。此時，
項目價值v0 = 3091.4萬元； 項目期權價值 c(v,0) =944萬元 ，減去初始投資350萬元後，得出含有實物期權的npv = 594萬元；
（4） 中試延期完成： 在本例中，我們假定研發正常完成，而中試延期1年完成，即在第5年進行市場化開發。
此時，項目產品延期一年上市，項目價值v0 = 1978.5萬元； 項目期權價值 c(v,0) =256.3 萬元 得出含有實物期權的npv = -93.7萬元，項目價值出現大額虧損；
對以上四類情形進行比較，不難發現，產品上市時間對r&d項目而言具有至關重要的影響：產品提前上市可以提高項目價值；產品延期上市則會降低項目價值，並且由於中試階段投資較大，其完成時間較研發階段完成時間對項目價值具有更大的影響。
討論2：對於單一金融期權而言，比如對ｂ-ｓ模型，因theta總是為負，因此伴隨期權到期期限t-t的增加，期權價值總是增加的。這對於複合期權模型也同樣成立：即隨著t或τ的延長，期權價值將增加。這可通過對期權的求導結果即可得到證明：
然而，本例上述的實際分析結果表明，這卻並非成立。從理論上，當研發或中試提前完成，因而導致可以提前進行市場化開發，這意味著市場化開發期權的提前執行，即到期期限t縮短。這對金融期權而言，根據前面的分析，期權價值應當減小；而這裡項目的實物期權價值卻不但沒有減少，反而增加了。實際上，這不難發現其中的原因是在於：由於產品的提前上市，項目收益提前，因此增大了項目的收益現值：在本例中，項目期望收益現值從v0 = 2473萬元 增大到v0 = 3091.4萬元，增加了618.4萬元，因而導致了項目期權價值從c(v,0)=519.4萬元，增大到c(v,0) =829.6萬元，增加了310.2萬元。
同理，當研發或中試延期完成，導致必須延遲進行市場化開發，因而導致產品的延遲上市，項目收益推遲，於是便降低了項目的收益現值。其結果是隨著到期期限t的延長，即市場化開發期權的延期執行，項目期權價值反而減少了。
以上的討論分析表明，以研發項目為例的實物期權由於問題構模的特點，一些來自金融期權定理可能會出現失效。根據我們以上的實例分析，不難發現其中的一個根本原因在於：在金融期權的計算中，其標的資產（股票）價格是確定已知的；而在研發投資項目的實物期權計算中，其標的資產（未來收益現金流的現值）的價格是未知和可變的，並隨著風險和利率的增加，產品上市時間的推遲，標的資產價值發生了減小。
這裡關於時間變動的數值分析，與波動率 和無風險利率的變動問題在性質上幾乎是完全相同的。使得金融期權中的定理在實物期權中失效的原因，在於項目期望收益現值v0發生了變化。
5．4 研發過程中的隨機突發因素對r&d項目實物期權價值的影響分析
r&d過程伴隨著大量的不確定性和風險，尤其是從研發開始現在到中試這段期間裡，會發生各種的小機率的意外事件，比如，某項非關鍵性的構想被證明不成立，經濟環境的變化、政策的因素、某項研發中間技術的外泄，某項替代技術或產品在市場上出現或來自於競爭對手的相關研發項目的成功等等， 這些都會影響到r&d項目的價值。一些資料顯示大部分金融資產的經驗回報分布都顯示出很大的不同，這部分可能是由於小的機率事件發生的可能性比原先假定的常態分配要高。忽略了這些小機率事件的存在，便會低估了不確定性，從而會影響到期權的價值評估，對項目決策產生不利影響。
penning and lint(1997)基於跳躍過程對b-s-m模型進行了擴展，使得期權價格評估更好地適合r&d項目過程的特點，但他們的論文未考慮複合期權，這裡，我們對此加以擴展。
為了便於分析r&d項目的實物期權模型參數的變化影響，我們有時需要考察 期權到期期間，波動率、無風險利率和期權持有成本為時變函式的情形。下面的定理為我們提供了有效的手段。
定理1： 我們假定期權到期期間t，波動率 、無風險利率r和期權持有成本δ均為時變函式，這時，上述四種複合期權存在一個類似geske 公式解的擴展公式解，其通解表達形式如下：
證明：
對買權的買權，η=1，φ=1，且當δ=0 時，agliardi elettra 等人（2003）已經給除了證明；在其他情形，公式的證明可仿照agliardi elettra 等人的思路，以類似推導過程得出，這裡從略。
利用定理1的公式結果，我們在上面的例3中，進一步假定在整個研發和中試期間，波動率和無風險利率均分別是隨時間均勻遞減的，並且： =0.27 - 0.03t, r = 0.06-0.01t, δ(t) = 0。將其代入上述模型，則可計算得出該r&d項目實物期權價值為 c(v,0) =408.5萬元。
這裡與前面的分析相類似，表面上似乎看起來，隨著波動率和無風險利率的降低，項目實物期權的價值也減小了，具有與金融期權同樣的性質；但如果我們注意到，根據我們的假定，在項目實物期權到期t = 4時刻(產品開始生產和銷售)， 波動率和無風險利率應分別降低至 =15%和r = 2%，這顯然與我們前面運用蒙特卡羅模擬計算項目收益現值時採用的風險估計相去甚遠，因此必須要進行重新調整參數，並重新進行項目收益現值的蒙特卡羅模擬計算：
參數調整的依據是：在項目投產之後的壽命期內，應當符合實物期權計算中的參數設定，即 =15% 和 r = 2%。椐此，我們對項目收益現值模擬計算的參數進行了調整，調整後的參數結果為：項目產品的壽命仍選取區間數[7，10]年不變，項目年銷售收入調整為 s = n（3000，360）萬元，項目年經營成本調整為co ＝n（500，50）萬元，項目基準折現率取均值15%，標準差為2%的的常態分配，i＝ n（15% ，2%）, 無風險利率為r = 2%，其它參數及假定維持不變。
利用調整後的數據，運用ox 軟體進行10000次蒙特卡洛模擬仿真運算，得出該項目的期望收益現值為 v0 = 3994.2萬元，波動率 = 15.3%。我們發現，期望收益現值v0 比原來有了很大的增加，而波動率 基本上符合我們15%的設定。
再將v0 = 3994.2萬元重新代入求解複合期權的時變模型公式進行求解，則計算得出：此時的項目實物期權價值為 c(v,0) =1708.2萬元。這一結果說明項目實物期權價值是增加的，正與我們前面討論的看法相符合。
6．結論
本文對過去幾十年來實物期權方法套用研究進行了回顧和總結，指出了在當前實物期權方法在套用中出現的一些模糊概念和誤用的問題，並通過一些實例對這些問題進行了分析和討論。指出由於問題構模及參數定義上的差異，一些對於金融期權成立的定理，如當波動率增加、無風險利率增大或期權期限延長時，期權價值是增加的，這對於實物期權並非總是成立。尤其是當實物期權套用於企業的r&d項目投資決策問題，其結論恰恰是相反。從而對一些現有的文獻似是而非的觀點和結論提出了否定。指出：造成實物期權與金融期權之間存在差異的根本原因在於：在金融期權的評估中，其標的資產（股票）初始價格是確定已知的，而在r&d投資項目的實物期權評估中，其標的資產（未來收益現金流）的初始價值是未知與可變的，並隨著風險和利率的增加，標的資產價值會發生減小。
本文以實物期權在企業r&d投資項目中的套用為例，對實物期權的構模和參數選擇等問題進行了詳細的討論和分析。並在對penning and lint（1997）及agliardi elettra（2003）等人的結果擴展的基礎上，給出了當波動率、無風險利率和期權持有成本為時變函式的條件下四種複合期權的解析解，並利用數值計算結果證實了作者提出的觀點。
與金融期權的評價相比，實物期權的評價和求解更加複雜和困難。本文關於企業r&d投資項目的實物期權模型分析，僅考慮了投資期間的管理彈性，而對產品上市後的經營管理彈性未做考慮，因此，所得出的實物期權的評價結果仍是整個項目實物期權的一個下界值，如何將r&d投資項目產品上市後期的經營管理彈性與投資期間的管理彈性進行總體考慮，是進一步需要研究的課題。
致謝：本文中的數值計算套用了ox教育免費軟體編程，在此對英國j. a. doornik先生的貢獻表示感謝。
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