這時愛因斯坦又想起了畢達哥拉斯定理，於是想要獨立證明這個定理。他花了三個星期最後找到一個方法，就是從直角三角形最長邊所面對的頂點作這邊的垂直線，於是把三角分成相似三角形，由此很容易證明這個定理。雖然這是一個古老得有二千多年歷史的定理，但是愛因斯坦經過一番努力總算得到了結果，他第一次體會到科學發現時的欣喜。
麥克斯每星期來時，都會幫他改一些習題，並且輔導他作一些較難的問題。過不久又引導他學習高等數學，十三歲時他已自學微積分了。當他的同班同學為那些平面幾何簡單問題和循環分數而皺眉頭時，愛因斯坦靠自學已經進入到無窮級數這些美麗神奇的“無窮世界”去了。
很快小愛因斯坦的數學程度超過了讀大學的麥克斯，比他大十一歲的醫科大學生再也跟不上這個十二、三歲的小孩子了。為了以後有共同談話的話題，麥克斯開始借哲學書給他看，愛因斯坦在十三歲就能看懂康德的《純理性批判》。這是一本對許多成人來說都算是枯燥艱深的書。這時候愛因斯坦閱讀的書就是數學、物理和許多哲學家的書。他不看小說，唯一的消遣就是拉小提琴。
麥克斯認為他已發現了一個神童，他說：“一個偉大的科學家或哲學家，將從愛因斯坦身上成長起來。”