高中數學教案模板 篇1
教學目標：
1、理解並掌握曲線在某一點處的切線的概念；
2、理解並掌握曲線在一點處的切線的斜率的定義以及切線方程的求法；
3、理解切線概念實際背景，培養學生解決實際問題的能力和培養學生轉化
問題的能力及數形結合思想。
教學重點：
理解並掌握曲線在一點處的切線的斜率的定義以及切線方程的求法。
教學難點：
用“無限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一點處切線的斜率。
教學過程：
一、問題情境
1、問題情境。
如何精確地刻畫曲線上某一點處的變化趨勢呢？
如果將點P附近的曲線放大，那么就會發現，曲線在點P附近看上去有點像是直線。
如果將點P附近的曲線再放大，那么就會發現，曲線在點P附近看上去幾乎成了直線。事實上，如果繼續放大，那么曲線在點P附近將逼近一條確定的直線，該直線是經過點P的所有直線中最逼近曲線的一條直線。
因此，在點P附近我們可以用這條直線來代替曲線，也就是說，點P附近，曲線可以看出直線（即在很小的範圍內以直代曲）。
2、探究活動。
如圖所示，直線l1，l2為經過曲線上一點P的兩條直線，
（1）試判斷哪一條直線在點P附近更加逼近曲線；
（2）在點P附近能作出一條比l1，l2更加逼近曲線的直線l3嗎？
（3）在點P附近能作出一條比l1，l2，l3更加逼近曲線的直線嗎？
二、建構數學
切線定義： 如圖，設Q為曲線C上不同於P的一點，直線PQ稱為曲線的割線。 隨著點Q沿曲線C向點P運動，割線PQ在點P附近逼近曲線C，當點Q無限逼近點P時，直線PQ最終就成為經過點P處最逼近曲線的直線l，這條直線l也稱為曲線在點P處的切線。這種方法叫割線逼近切線。
思考：如上圖，P為已知曲線C上的`一點，如何求出點P處的切線方程？
三、數學運用
例1 試求在點（2，4）處的切線斜率。
解法一 分析：設P（2，4），Q（xQ，f（xQ）），
則割線PQ的斜率為：
當Q沿曲線逼近點P時，割線PQ逼近點P處的切線，從而割線斜率逼近切線斜率；
當Q點橫坐標無限趨近於P點橫坐標時，即xQ無限趨近於2時，kPQ無限趨近於常數4。
從而曲線f（x）＝x2在點（2，4）處的切線斜率為4。
解法二 設P（2，4），Q（xQ，xQ2），則割線PQ的斜率為：
當？x無限趨近於0時，kPQ無限趨近於常數4，從而曲線f（x）＝x2，在點（2，4）處的切線斜率為4。
練習 試求在x＝1處的切線斜率。
解：設P（1，2），Q（1＋Δx，（1＋Δx）2＋1），則割線PQ的斜率為：
當？x無限趨近於0時，kPQ無限趨近於常數2，從而曲線f（x）＝x2＋1在x＝1處的切線斜率為2。
小結 求曲線上一點處的切線斜率的一般步驟：
（1）找到定點P的坐標，設出動點Q的坐標；
（2）求出割線PQ的斜率；
（3）當時，割線逼近切線，那么割線斜率逼近切線斜率。
思考 如上圖，P為已知曲線C上的一點，如何求出點P處的切線方程？
解 設
所以，當無限趨近於0時，無限趨近於點處的切線的斜率。
變式訓練
1。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程；
2。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程；
3。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程。
課堂練習
已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程。
四、回顧小結
1、曲線上一點P處的切線是過點P的所有直線中最接近P點附近曲線的直線，則P點處的變化趨勢可以由該點處的切線反映（局部以直代曲）。
2、根據定義，利用割線逼近切線的方法， 可以求出曲線在一點處的切線斜率和方程。
五、課外作業
高中數學教案模板 篇2
教學目標：
1、使學生了解角的形成，理解角的概念掌握角的各種表示法；
2、通過觀察、操作培養學生的觀察能力和動手操作能力。
3、使學生掌握度、分、秒的進位制,會作度、分、秒間的單位互化
4、採用自學與小組合作學習相結合的方法，培養學生主動參與、勇於探究的精神。
教學重點：
理解角的概念，掌握角的三種表示方法
教學難點：
掌握度、分、秒的進位制, ,會作度、分、秒間的單位互化
教學手段：
教具：電腦課件、實物投影、量角器
學具：量角器需測量的角
教學過程：
一、建立角的概念
（一）引入角（利用課件演示）
1、從生活中引入
提問：
A、以前我們曾經認識過角，那你們能從這兩個圖形中指出哪些地方是角嗎？
B、在我們的生活當中存在著許許多多的角。一起看一看。誰能從這些常用的物品中找出角？
2、從射線引入
提問：
A、昨天我們認識了射線，想從一點可以引出多少條射線？
B、如果從一點出發任意取兩條射線，那出現的是什麼圖形？
C、哪兩條射線可以組成一個角？誰來指一指。
（二）認識角，總結角的定義
3、 過渡：角是怎么形成的呢？一起看
（1）、演示：老師在這畫上一個點，現在從這點出發引出一條射線，再從這點出發引出第二條射線。
提問：觀察從這點引出了幾條射線？此時所組成的圖形是什麼圖形？
（2）、判斷下列哪些圖形是角。
（√） （×） （√） （×） （√）
為何第二幅和第四幅圖形不是角？（學生回答）
誰能用自己的話來概括一下怎樣組成的圖形叫做角？
總結：有公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角（angle）
角的第二定義：角也可以看做由一條射線繞端點旋轉所形成的圖形.如下圖中的角，可以看做射線OA繞端點0按逆時針方向旋轉到OB所形成的我們把OA叫做角的始邊，OB叫做角的終邊.
B
0 A
4、認識角的各部分名稱，明確頂點、邊的作用
（1）觀看角的圖形提問：這個點叫什麼？這兩條射線叫什麼？（學生邊說師邊標名稱）
（2）角可以畫在本上、黑板上，那角的位置是由誰決定的?
（3）頂點可以確定角的位置，從頂點引出的兩條邊可以組成一個角。
5、學會用符號表示角
提問：那么,角的符號是什麼?該怎么寫,怎么讀的呢?(電腦顯示)
（1）可以標上三個大寫字母,寫作:∠ABC或∠CBA,讀作:角ABC或角CBA.
（2）觀察這兩種方法,有什麼特點?(字母B都在中間)
（3）所以,在只有一個角的時候,我們還可以寫作: ∠B,讀作:角B
（4）為了方便,有時我們還可以標上數字,寫作∠1,讀作:角1
（5）注:區別 “∠”和“ a ， b 是正數，且，求證
［分析］依題目特點，作差後重新組項，採用因式分解來變形.
證明：（見課本）
［點評］因式分解也是對差式變形的一種常用方法.此例將差式變形為幾個因式的積的形式，在確定符號中，表達過程較複雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個好的示範.
［點評］解這道題在判斷符號時用了分類討論，分類討論是重要的數學 思想方法.要理解為什麼分類，怎樣分類.分類時要不重不漏.
［字幕］例5甲、乙兩人同時同地沿同一條路線走到同一地點.甲有一半時間以速度 m 行走，另一半時間以速度 n 行走；有一半路程乙以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走，如果，問甲、乙兩人誰先到達指定地點.
[分析]設從出發地點至指定地點的路程為，甲、乙兩人走完這段路程用的時間分別為，要回答題目中的問題，只要比較、的大小就可以了.
解：（見課本）
［點評］此題是一個實際問題，學習了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關實際問題.要培養自己學數學，用數學的良好品質.
設計意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號的方法.培養學生套用知識解決實際問題的能力.
【課堂練習】
（教師活動）教師打出字幕練習，要求學生獨立思考，完成練習；請甲、乙兩位學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的給予肯定，對偏差及時糾正；點評練習中存在的問題.
（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演.
［字幕］練習：1.設，比較與的大小.
2.已知，求證
設計意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的套用.靈活掌握因式分解法對差式的變形和分類討論確定符號.反饋信息，調節課堂教學.
【分析歸納、小結解法】
（教師活動）分析歸納例題的解題過程，小結對差式變形、確定符號的常用方法和利用不等式解決實際問題的解題步驟.
（學生活動）與教師一道小結，並記錄在筆記本上.
1.比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個式子大小的一種重要方法.
2.對差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等.
3.會用分類討論的方法確定差式的符號.
4.利用不等式解決實際問題的解題步驟：①類比列方程解套用題的步驟.②分析題意，設未知數，找出數量關係（函式關係，相等關係或不等關係），③列出函式關係、等式或不等式，④求解，作答.
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識體系.
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識及數學 思想與方法.
（學生活動）與教師一道小結，並記錄筆記.
本節課學習了對差式變形的一種常用方法因式分解法；對符號確定的分類討論法；套用比較法的'思想解決實際問題.
通過學習比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據，理解轉化，使問題簡化是比較法證明不等式中所蘊含的重要數學思想，掌握求差後對差式變形以及判斷符號的重要方法，並在以後的學習中繼續積累方法，培養用數學知識解決實際問題的能力.
設計意圖：培養學生對所學的知識進行概括歸納的能力，鞏固所學的知識，領會化歸、類比、分類討論的重要數學 思想方法.
（四）布置作業
1.課本作業：P17 7、8。
2，思考題：已知，求證
3.研究性題：對於同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時間和船在靜水中來回行駛一次的時間是否相等？（假設船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）
設計意圖：思考題讓學生了解商值比較法，掌握分類討論的思想.研究性題是使學生理論聯繫實際，用數學解決實際問題，提高套用數學的能力.
（五）課後點評
1.教學評價、反饋調節措施的構想：本節課採用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，通過啟發誘導學生深入思考問題，解決問題，反饋學習信息，調節教學活動.
2.教學措施的設計：由於對差式變形，確定符號是掌握比較法證明不等式的關鍵，本節課在上節課的基礎上繼續學習差式變形的方法和符號的確定，例3和例4分別使學生掌握因式分解變形和分類討論確定符號，例5使學生對所學的知識會套用.例題設計目的在於突出重點，突破難點，學會套用
高中數學教案模板 篇3
整體設計
教學分析
我們在國中的學習過程中，已了解了整數指數冪的概念和運算性質。從本節開始我們將在回顧平方根和立方根的基礎上，類比出正數的n次方根的定義，從而把指數推廣到分數指數。進而推廣到有理數指數，再推廣到實數指數，並將冪的運算性質由整數指數冪推廣到實數指數冪。
教材為了讓學生在學習之外就感受到指數函式的實際背景，先給出兩個具體例子：GDP的增長問題和碳14的衰減問題。前一個問題，既讓學生回顧了國中學過的整數指數冪，也讓學生感受到其中的函式模型，並且還有思想教育價值。後一個問題讓學生體會其中的函式模型的同時，激發學生探究分數指數冪、無理數指數冪的興趣與欲望，為新知識的學習作了鋪墊。
本節安排的內容蘊涵了許多重要的數學思想方法，如推廣的思想（指數冪運算律的推廣）、類比的思想、逼近的思想（有理數指數冪逼近無理數指數冪）、數形結合的思想（用指數函式的圖象研究指數函式的性質）等，同時，充分關注與實際問題的結合，體現數學的套用價值。
根據本節內容的特點，教學中要注意發揮信息技術的力量，儘量利用計算器和計算機創設教學情境，為學生的數學探究與數學思維提供支持。
三維目標
1、通過與國中所學的知識進行類比，理解分數指數冪的概念，進而學習指數冪的性質。掌握分數指數冪和根式之間的互化，掌握分數指數冪的運算性質。培養學生觀察分析、抽象類比的能力。
2、掌握根式與分數指數冪的互化，滲透“轉化”的數學思想。通過運算訓練，養成學生嚴謹治學，一絲不苟的學習習慣，讓學生了解數學來自生活，數學又服務於生活的哲理。
3、能熟練地運用有理指數冪運算性質進行化簡、求值，培養學生嚴謹的思維和科學正確的計算能力。
4、通過訓練及點評，讓學生更能熟練掌握指數冪的運算性質。展示函式圖象，讓學生通過觀察，進而研究指數函式的性質，讓學生體驗數學的簡潔美和統一美。
重點難點
教學重點
（1）分數指數冪和根式概念的理解。
（2）掌握並運用分數指數冪的運算性質。
（3）運用有理指數冪的性質進行化簡、求值。
教學難點
（1）分數指數冪及根式概念的理解。
（2）有理指數冪性質的靈活套用。
課時安排
3課時
教學過程
第1課時
作者：路致芳
導入新課
思路1.同學們在預習的過程中能否知道考古學家如何判斷生物的發展與進化，又怎樣判斷它們所處的年代？（考古學家是通過對生物化石的研究來判斷生物的發展與進化的，第二個問題我們不太清楚）考古學家是按照這樣一條規律推測生物所處的年代的。教師板書本節課題：指數函式——指數與指數冪的運算。
思路2.同學們，我們在國中學習了平方根、立方根，那么有沒有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題：指數函式——指數與指數冪的運算。
推進新課
新知探究
提出問題
（1）什麼是平方根？什麼是立方根？一個數的平方根有幾個，立方根呢？
（2）如x4=a，x5=a，x6=a，根據上面的結論我們又能得到什麼呢？
（3）根據上面的結論我們能得到一般性的結論嗎？
（4）可否用一個式子表達呢？
活動：教師提示，引導學生回憶國中的時候已經學過的平方根、立方根是如何定義的，對照類比平方根、立方根的定義解釋上面的式子，對問題(2)的結論進行引申、推廣，相互交流討論後回答，教師及時啟發學生，具體問題一般化，歸納類比出n次方根的概念，評價學生的思維。
討論結果：(1)若x2=a，則x叫做a的平方根，正實數的平方根有兩個，它們互為相反數，如：4的平方根為±2，負數沒有平方根，同理，若x3=a，則x叫做a的立方根，一個數的立方根只有一個，如：-8的立方根為-2.
（2）類比平方根、立方根的定義，一個數的四次方等於a，則這個數叫a的四次方根。一個數的五次方等於a，則這個數叫a的五次方根。一個數的六次方等於a，則這個數叫a的六次方根。
（3）類比(2)得到一個數的n次方等於a，則這個數叫a的n次方根。
（4）用一個式子表達是，若xn=a，則x叫a的n次方根。
教師板書n次方根的意義：
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1且n∈正整數集。
可以看出數的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。
提出問題
（1）你能根據n次方根的意義求出下列數的n次方根嗎？（多媒體顯示以下題目）。
①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根。
（2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分別對應的方根的指數是什麼數，有什麼特點？4，±8，16，-32，32，0，a6分別對應什麼性質的數，有什麼特點？
（3）問題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數a有正有負，還有零，結論有一個的，也有兩個的，你能否總結一般規律呢？
（4）任何一個數a的偶次方根是否存在呢？
活動：教師提示學生切實緊扣n次方根的概念，求一個數a的n次方根，就是求出的那個數的n次方等於a，及時點撥學生，從數的分類考慮，可以把具體的數寫出來，觀察數的特點，對問題(2)中的結論，類比推廣引申，考慮要全面，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路。
討論結果：(1)因為±2的平方等於4，±2的立方等於±8，±2的4次方等於16,2的5次方等於32，-2的5次方等於-32,0的7次方等於0，a2的立方等於a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分別是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.
（2）方根的指數是2,3,4,5,7…特點是有奇數和偶數。總的來看，這些數包括正數，負數和零。
（3）一個數a的奇次方根只有一個，一個正數a的偶次方根有兩個，是互為相反數。0的任何次方根都是0.
（4）任何一個數a的偶次方根不一定存在，如負數的偶次方根就不存在，因為沒有一個數的偶次方是一個負數。
類比前面的平方根、立方根，結合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質：
①當n為偶數時，正數a的n次方根有兩個，是互為相反數，正的n次方根用na表示，如果是負數，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合併寫成±na(a>0)。
②n為奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數，這時a的n次方根用符號na表示。
③負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是零。
上面的文字語言可用下面的式子表示：
a為正數：n為奇數，a的n次方根有一個為na，n為偶數，a的n次方根有兩個為±na.
a為負數：n為奇數，a的n次方根只有一個為na，n為偶數，a的n次方根不存在。
零的n次方根為零，記為n0=0.
可以看出數的平方根、立方根的性質是n次方根的性質的特例。
思考
根據n次方根的性質能否舉例說明上述幾種情況？
活動：教師提示學生對方根的性質要分類掌握，即正數的奇偶次方根，負數的奇次方根，零的任何次方根，這樣才不重不漏，同時巡視學生，隨機給出一個數，我們寫出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意義，注意觀察方根的形式，及時糾正學生在舉例過程中的問題。
解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根為±2，-27的5次方根為5-27，而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根，它類似於na的形式，現在我們給式子na一個名稱——根式。
根式的概念：
式子na叫做根式，其中a叫做被開方數，n叫做根指數。
如3-27中，3叫根指數，-27叫被開方數。
思考
nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立嗎？如果不一定成立，那么nan等於什麼？
活動：教師讓學生注意討論n為奇偶數和a的符號，充分讓學生多舉實例，分組討論。教師點撥，注意歸納整理。
〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕。
解答：根據n次方根的意義，可得：(na)n=a.
通過探究得到：n為奇數，nan=a.
n為偶數，nan=|a|=a，-a，a≥0，ab)。
活動：求某些式子的值，首先考慮的應是什麼，明確題目的要求是什麼，都用到哪些知識，關鍵是啥，搞清這些之後，再針對每一個題目仔細分析。觀察學生的解題情況，讓學生展示結果，抓住學生在解題過程中出現的問題並對症下藥。求下列各式的值實際上是求數的方根，可按方根的運算性質來解，首先要搞清楚運算順序，目的是把被開方數的符號定準，然後看根指數是奇數還是偶數，如果是奇數，無需考慮符號，如果是偶數，開方的結果必須是非負數。
解：(1)3(-8)3=-8;
（2）(-10)2=10;
（3)4(3-π）4=π-3;
（4）(a-b)2=a-b(a>b)。
點評：不注意n的奇偶性對式子nan的值的影響，是導致問題出現的一個重要原因，要在理解的基礎上，記準，記熟，會用，活用。
變式訓練
求出下列各式的值：
(1)7(-2)7;
(2)3(3a-3)3(a≤1)；
(3)4(3a-3)4.
解：(1)7(-2)7=-2，
(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，
(3)4(3a-3)4=
點評：本題易錯的是第(3)題，往往忽視a與1大小的討論，造成錯解。
思路2
例1下列各式中正確的是
A.4a4=a
B.6(-2)2=3-2
C.a0=1
D.10(2-1)5=2-1
活動：教師提示，這是一道選擇題，本題考查n次方根的運算性質，應首先考慮根據方根的意義和運算性質來解，既要考慮被開方數，又要考慮根指數，嚴格按求方根的步驟，體會方根運算的實質，學生先思考哪些地方容易出錯，再回答。
解析：(1)4a4=a，考查n次方根的運算性質，當n為偶數時，應先寫nan=|a|，故A項錯。
(2)6(-2)2=3-2，本質上與上題相同，是一個正數的偶次方根，根據運算順序也應如此，結論為6(-2)2=32，故B項錯。
(3)a0=1是有條件的，即a≠0，故C項也錯。
(4)D項是一個正數的偶次方根，根據運算順序也應如此，故D項正確。所以答案選D.
答案：D
點評：本題由於考查n次方根的運算性質與運算順序，有時極易選錯，選四個答案的情況都會有，因此解題時千萬要細心。
例2 3+22+3-22=__________.
活動：讓同學們積極思考，交流討論，本題乍一看內容與本節無關，但仔細一想，我們學習的內容是方根，這裡是帶有雙重根號的式子，去掉一層根號，根據方根的運算求出結果是解題的關鍵，因此將根號下面的式子化成一個完全平方式就更為關鍵了，從何處入手？需利用和的平方公式與差的平方公式化為完全平方式。正確分析題意是關鍵，教師提示，引導學生解題的思路。
解析：因為3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，
3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，
所以3+22+3-22=22.
答案：22
點評：不難看出3-22與3+22形式上有些特點，即是對稱根式，是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法把其化成一個完全平方式。
思考
上面的例2還有別的解法嗎？
活動：教師引導，去根號常常利用完全平方公式，有時平方差公式也可，同學們觀察兩個式子的特點，具有對稱性，再考慮並交流討論，一個是“+”，一個是“-”，去掉一層根號後，相加正好抵消。同時藉助平方差，又可去掉根號，因此把兩個式子的和看成一個整體，兩邊平方即可，探討得另一種解法。
另解：利用整體思想，x=3+22+3-22，
兩邊平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.
點評：對雙重二次根式，特別是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法將根號下面的式子化成一個完全平方式，問題迎刃而解，另外對A+2B±A-2B的式子，我們可以把它們看成一個整體利用完全平方公式和平方差公式去解。
變式訓練
若a2-2a+1=a-1，求a的取值範圍。
解：因為a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，
即a-1≥0，
所以a≥1.
點評：利用方根的運算性質轉化為去絕對值符號，是解題的關鍵。
知能訓練
（教師用多媒體顯示在螢幕上）
1、以下說法正確的是
A.正數的n次方根是一個正數
B.負數的`n次方根是一個負數
C.0的n次方根是零
D.a的n次方根用na表示（以上n>1且n∈正整數集）
答案：C
2、化簡下列各式：
(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.
答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。
3、計算7+40+7-40=__________.
解析：7+40+7-40
=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2
=(5+2)2+(5-2)2
=5+2+5-2
=25.
答案：25
拓展提升
問題：nan=a與(na)n=a(n>1，n∈N)哪一個是恆等式，為什麼？請舉例說明。
活動：組織學生結合前面的例題及其解答，進行分析討論，解決這一問題要緊扣n次方根的定義。
通過歸納，得出問題結果，對a是正數和零，n為偶數時，n為奇數時討論一下。再對a是負數，n為偶數時，n為奇數時討論一下，就可得到相應的結論。
解：(1)(na)n=a(n>1，n∈N)。
如果xn=a(n>1，且n∈N)有意義，則無論n是奇數或偶數，x=na一定是它的一個n次方根，所以(na)n=a恆成立。
例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.
(2)nan=a，|a|，當n為奇數，當n為偶數。
當n為奇數時，a∈R，nan=a恆成立。
例如：525=2，5(-2)5=-2.
當n為偶數時，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;如果a1，n∈N)是恆等式，nan=a(n>1，n∈N)是有條件的。
點評：實質上是對n次方根的概念、性質以及運算性質的深刻理解。
課堂小結
學生仔細交流討論後，在筆記上寫出本節課的學習收穫，教師用多媒體顯示在螢幕上。
1、如果xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n>1且n∈正整數集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被開方數，n叫根指數。
（1）當n為偶數時，a的n次方根有兩個，是互為相反數，正的n次方根用na表示，如果是負數，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合併寫成±na(a>0)。
(2)n為奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數，這時a的n次方根用符號na表示。
（3）負數沒有偶次方根。0的任何次方根都是零。
2、掌握兩個公式：n為奇數時，(na)n=a，n為偶數時，nan=|a|=a，-a，a≥0，a
解析：因為5
答案：2a-13
3.5+26+5-26=__________.
解析：對雙重二次根式，我們覺得難以下筆，我們考慮只有在開方的前提下才可能解出，由此提示我們想辦法去掉一層根式，
不難看出5+26=(3+2)2=3+2.
同理5-26=(3-2)2=3-2.
所以5+26+5-26=23.
答案：23
設計感想
學生已經學習了數的平方根和立方根，根式的內容是這些內容的推廣，本節課由於方根和根式的概念和性質難以理解，在引入根式的概念時，要結合已學內容，列舉具體實例，根式na的講解要分n是奇數和偶數兩種情況來進行，每種情況又分a>0，a0，
①；
②a8=(a4)2=a4=，；
③4a12=4(a3)4=a3=；
④2a10=2(a5)2=a5= 。
（3）利用(2)的規律，你能表示下列式子嗎？
，，，(x>0，m，n∈正整數集，且n>1)。
（4）你能用方根的意義來解釋(3)的式子嗎？
（5）你能推廣到一般的情形嗎？
活動：學生回顧國中學習的整數指數冪及運算性質，仔細觀察，特別是每題的開始和最後兩步的指數之間的關係，教師引導學生體會方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點啟發學生類比(2)的規律表示，借鑑(2)(3)，我們把具體推廣到一般，對寫正確的同學及時表揚，其他學生鼓勵提示。
討論結果：(1)整數指數冪的運算性質：an=a?a?a?…？a，a0=1(a≠0)；00無意義；
a-n=1an(a≠0)；am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.
（2）①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根。實質上①5a10=，②a8=，③4a12=，④2a10=結果的a的指數是2,4,3,5分別寫成了105，82，124，105，形式上變了，本質沒變。
根據4個式子的最後結果可以總結：當根式的被開方數的指數能被根指數整除時，根式可以寫成分數作為指數的形式（分數指數冪形式）。
（3）利用(2)的規律，453=，375=，5a7=，nxm= 。
(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是。
結果表明方根的結果和分數指數冪是相通的。
（5）如果a>0，那么am的n次方根可表示為nam=，即=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)。
綜上所述，我們得到正數的正分數指數冪的意義，教師板書：
規定：正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)。
提出問題
（1）負整數指數冪的意義是怎樣規定的？
（2）你能得出負分數指數冪的意義嗎？
（3）你認為應怎樣規定零的分數指數冪的意義？
（4）綜合上述，如何規定分數指數冪的意義？
（5）分數指數冪的意義中，為什麼規定a>0，去掉這個規定會產生什麼樣的後果？
（6）既然指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質是否也適用於有理數指數冪呢？
活動：學生回想國中學習的情形，結合自己的學習體會回答，根據零的整數指數冪的意義和負整數指數冪的意義來類比，把正分數指數冪的意義與負分數指數冪的意義融合起來，與整數指數冪的運算性質類比可得有理數指數冪的運算性質，教師在黑板上板書，學生合作交流，以具體的實例說明a>0的必要性，教師及時作出評價。
討論結果：(1)負整數指數冪的意義是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+。
（2）既然負整數指數冪的意義是這樣規定的，類比正數的正分數指數冪的意義可得正數的負分數指數冪的意義。
規定：正數的負分數指數冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈=N+，n>1)。
（3）規定：零的分數指數冪的意義是：零的正分數次冪等於零，零的負分數指數冪沒有意義。
（4）教師板書分數指數冪的意義。分數指數冪的意義就是：
正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，正數的負分數指數冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，零的正分數次冪等於零，零的負分數指數冪沒有意義。
（5）若沒有a>0這個條件會怎樣呢？
如=3-1=-1，=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個式子出現了截然不同的結果，這隻說明分數指數冪在底數小於零時是無意義的。因此在把根式化成分數指數時，切記要使底數大於零，如無a>0的條件，比如式子3a2=，同時負數開奇次方是有意義的，負數開奇次方時，應把負號移到根式的外邊，然後再按規定化成分數指數冪，也就是說，負分數指數冪在有意義的情況下總表示正數，而不是負數，負數只是出現在指數上。
（6）規定了分數指數冪的意義後，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數。
有理數指數冪的運算性質：對任意的有理數r，s，均有下面的運算性質：
①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，
②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，
③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。
我們利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質可以解決一些問題，來看下面的例題。
套用示例
例1求值：(1)；(2)；(3)12-5;(4) 。
活動：教師引導學生考慮解題的方法，利用冪的運算性質計算出數值或化成最簡根式，根據題目要求，把底數寫成冪的形式，8寫成23,25寫成52，12寫成2-1，1681寫成234，利用有理數冪的運算性質可以解答，完成後，把自己的答案用投影儀展示出來。
解：(1) =22=4;
（2）=5-1=15;
(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;
（4）=23-3=278.
點評：本例主要考查冪值運算，要按規定來解。在進行冪值運算時，要首先考慮轉化為指數運算，而不是首先轉化為熟悉的根式運算，如=382=364=4.
例2用分數指數冪的形式表示下列各式。
a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)。
活動：學生觀察、思考，根據解題的順序，把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質來運算，根式化為分數指數冪時，要由里往外依次進行，把握好運算性質和順序，學生討論交流自己的解題步驟，教師評價學生的解題情況，鼓勵學生注意總結。
解：a3?a=a3? =；
a2?3a2=a2? =；
a3a= 。
點評：利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質進行根式運算時，其順序是先把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質來運算。對於計算的結果，不強求統一用什麼形式來表示，沒有特別要求，就用分數指數冪的形式來表示，但結果不能既有分數指數又有根式，也不能既有分母又有負指數。
例3計算下列各式（式中字母都是正數）。
（1）；
（2）。
活動：先由學生觀察以上兩個式子的特徵，然後分析，四則運算的順序是先算乘方，再算乘除，最後算加減，有括弧的先算括弧內的，整數冪的運算性質及運算規律擴充到分數指數冪後，其運算順序仍符合我們以前的四則運算順序，再解答，把自己的答案用投影儀展示出來，相互交流，其中要注意到(1)小題是單項式的乘除運算，可以用單項式的乘除法運算順序進行，要注意符號，第(2)小題是乘方運算，可先按積的乘方計算，再按冪的乘方進行計算，熟悉後可以簡化步驟。
解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)] =4ab0=4a;
（2）=m2n-3=m2n3.
點評：分數指數冪不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫法。有了分數指數冪，就可把根式轉化成分數指數冪的形式，用分數指數冪的運算法則進行運算了。
本例主要是指數冪的運算法則的綜合考查和套用。
變式訓練
求值：(1)33?33?63;
(2)627m3125n64.
解：(1)33?33?63= =32=9;
(2)627m3125n64= =9m225n4=925m2n-4.
例4計算下列各式：
（1）(325-125)÷425;
(2)a2a?3a2(a>0)。
活動：先由學生觀察以上兩個式子的特徵，然後分析，化為同底。利用分數指數冪計算，在第(1)小題中，只含有根式，且不是同次根式，比較難計算，但把根式先化為分數指數冪再計算，這樣就簡便多了，第(2)小題也是先把根式轉化為分數指數冪後再由運算法則計算，最後寫出解答。
解：(1)原式=
= =65-5;
(2)a2a?3a2= =6a5.
知能訓練
課本本節練習1,2,3
【補充練習】
教師用實物投影儀把題目投射到螢幕上讓學生解答，教師巡視，啟發，對做得好的同學給予表揚鼓勵。
1、(1)下列運算中，正確的是
A.a2?a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2
C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6
（2）下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5（各式的n∈N，a∈R）中，有意義的是
A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④
（3）(34a6)2?(43a6)2等於
A.a B.a2 C.a3 D.a4
（4）把根式-25(a-b)-2改寫成分數指數冪的形式為
A. B.
C. D.
（5）化簡的結果是
A.6a B.-a C.-9a D.9a
2、計算：(1) --17-2+ -3-1+(2-1)0=__________.
（2）設5x=4,5y=2，則52x-y=__________.
3、已知x+y=12，xy=9且x
所以原式= =12-6-63=-33.
拓展提升
1、化簡：。
活動：學生觀察式子特點，考慮x的指數之間的關係可以得到解題思路，應對原式進行因式分解，根據本題的特點，注意到：
x-1= -13=；
x+1= +13=；
。
構建解題思路教師適時啟發提示。
解：
=
=
=
= 。
點撥：解這類題目，要注意運用以下公式，
=a-b，
=a± +b，
=a±b.
2、已知，探究下列各式的值的求法。
(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 。
解：(1)將，兩邊平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7;
（2）將a+a-1=7兩邊平方，得a2+a-2+2=49，即a2+ a-2=47;
（3）由於，
所以有=a+a-1+1=8.
點撥：對“條件求值”問題，一定要弄清已知與未知的聯繫，然後採取“整體代換”或“求值後代換”兩種方法求值。
課堂小結
活動：教師，本節課同學們有哪些收穫？請把你的學習收穫記錄在你的筆記本上，同學們之間相互交流。同時教師用投影儀顯示本堂課的知識要點：
（1）分數指數冪的意義就是：正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，正數的負分數指數冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，零的正分數次冪等於零，零的負分數指數冪沒有意義。
（2）規定了分數指數冪的意義後，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數。
（3）有理數指數冪的運算性質：對任意的有理數r，s，均有下面的運算性質：
①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，
②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，
③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。
（4）說明兩點：
①分數指數冪的意義是一種規定，我們前面所舉的例子只表明這種規定的合理性，其中沒有推出關係。
②整數指數冪的運算性質對任意的有理數指數冪也同樣適用。因而分數指數冪與根式可以互化，也可以利用=am來計算。
作業
課本習題2.1A組2,4.
設計感想
本節課是分數指數冪的意義的引出及套用，分數指數是指數概念的又一次擴充，要讓學生反覆理解分數指數冪的意義，教學中可以通過根式與分數指數冪的互化來鞏固加深對這一概念的理解，用觀察、歸納和類比的方法完成，由於是硬性的規定，沒有合理的解釋，因此多安排一些練習，強化訓練，鞏固知識，要輔助以信息技術的手段來完成大容量的課堂教學任務。
第3課時
作者：鄭芳鳴
導入新課
思路1.同學們，既然我們把指數從正整數推廣到整數，又從整數推廣到正分數到負分數，這樣指數就推廣到有理數，那么它是否也和數的推廣一樣，到底有沒有無理數指數冪呢？回顧數的擴充過程，自然數到整數，整數到分數（有理數），有理數到實數。並且知道，在有理數到實數的擴充過程中，增添的數是無理數。對無理數指數冪，也是這樣擴充而來。既然如此，我們這節課的主要內容是：教師板書本堂課的課題〔指數與指數冪的運算(3)〕之無理數指數冪。
思路2.同學們，在國中我們學習了函式的知識，對函式有了一個初步的了解，到了高中，我們又對函式的概念進行了進一步的學習，有了更深的理解，我們僅僅學了幾種簡單的函式，如一次函式、二次函式、正比例函式、反比例函式、三角函式等，這些遠遠不能滿足我們的需要，隨著科學的發展，社會的進步，我們還要學習許多函式，其中就有指數函式，為了學習指數函式的知識，我們必須學習實數指數冪的運算性質，為此，我們必須把指數冪從有理數指數冪擴充到實數指數冪，因此我們本節課學習：指數與指數冪的運算(3)之無理數指數冪，教師板書本節課的課題。
推進新課
新知探究
提出問題
（1）我們知道2=1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什麼近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什麼近似值？
（2）多媒體顯示以下圖表：同學們從上面的兩個表中，能發現什麼樣的規律？
2的過剩近似值
的近似值
1.5 11.180 339 89
1.42 9.829 635 328
1.415 9.750 851 808
1.414 3 9.739 872 62
1.414 22 9.738 618 643
1.414 214 9.738 524 602
1.414 213 6 9.738 518 332
1.414 213 57 9.738 517 862
1.414 213 563 9.738 517 752
… …
的近似值
2的不足近似值
9.518 269 694 1.4
9.672 669 973 1.41
9.735 171 039 1.414
9.738 305 174 1.414 2
9.738 461 907 1.414 21
9.738 508 928 1.414 213
9.738 516 765 1.414 213 5
9.738 517 705 1.414 213 56
9.738 517 736 1.414 213 562
… …
（3）你能給上述思想起個名字嗎？
（4）一個正數的無理數次冪到底是一個什麼性質的數呢？如，根據你學過的知識，能作出判斷併合理地解釋嗎？
（5）藉助上面的結論你能說出一般性的結論嗎？
活動：教師引導，學生回憶，教師提問，學生回答，積極交流，及時評價學生，學生有困惑時加以解釋，可用多媒體顯示輔助內容：
問題(1)從近似值的分類來考慮，一方面從大於2的方向，另一方面從小於2的方向。
問題(2)對圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看，注意其關聯。
問題(3)上述方法實際上是無限接近，最後是逼近。
問題(4)對問題給予大膽猜測，從數軸的觀點加以解釋。
問題(5)在(3)(4)的基礎上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般。
討論結果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…這些數都小於2，稱2的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，…，這些數都大於2，稱2的過剩近似值。
（2）第一個表：從大於2的方向逼近2時，就從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大於的方向逼近。
第二個表：從小於2的方向逼近2時，就從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小於的方向逼近。
從另一角度來看這個問題，在數軸上近似地表示這些點，數軸上的數字表明一方面從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小於的方向接近，而另一方面從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大於的方向接近，可以說從兩個方向無限地接近，即逼近，所以是一串有理數指數冪51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，和另一串有理數指數冪51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述變化規律變化的結果，事實上表示這些數的點從兩個方向向表示的點靠近，但這個點一定在數軸上，由此我們可得到的結論是一定是一個實數，即51.40，α是無理數）是一個確定的實數。
也就是說無理數可以作為指數，並且它的結果是一個實數，這樣指數概念又一次得到推廣，在數的擴充過程中，我們知道有理數和無理數統稱為實數。我們規定了無理數指數冪的意義，知道它是一個確定的實數，結合前面的有理數指數冪，那么，指數冪就從有理數指數冪擴充到實數指數冪。
提出問題
（1）為什麼在規定無理數指數冪的意義時，必須規定底數是正數？
（2）無理數指數冪的運算法則是怎樣的？是否與有理數指數冪的運算法則相通呢？
（3）你能給出實數指數冪的運算法則嗎？
活動：教師組織學生互助合作，交流探討，引導他們用反例說明問題，注意類比，歸納。
對問題(1)回顧我們學習分數指數冪的意義時對底數的規定，舉例說明。
對問題（2)結合有理數指數冪的運算法則，既然無理數指數冪aα(a>0，α是無理數）是一個確定的實數，那么無理數指數冪的運算法則應當與有理數指數冪的運算法則類似，並且相通。
對問題(3)有了有理數指數冪的運算法則和無理數指數冪的運算法則，實數的運算法則自然就得到了。
討論結果：(1)底數大於零的必要性，若a=-1，那么aα是+1還是-1就無法確定了，這樣就造成混亂，規定了底數是正數後，無理數指數冪aα是一個確定的實數，就不會再造成混亂。
（2）因為無理數指數冪是一個確定的實數，所以能進行指數的運算，也能進行冪的運算，有理數指數冪的運算性質，同樣也適用於無理數指數冪。類比有理數指數冪的運算性質可以得到無理數指數冪的運算法則：
①ar?as=ar+s（a>0，r，s都是無理數）。
②（ar)s=ars(a>0，r，s都是無理數）。
③（a?b)r=arbr(a>0，b>0，r是無理數）。
（3）指數冪擴充到實數後，指數冪的運算性質也就推廣到了實數指數冪。
實數指數冪的運算性質：
對任意的實數r，s，均有下面的運算性質：
①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。
②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。
③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。
套用示例
例1利用函式計算器計算。（精確到0.001）
(1)0.32.1;(2)3.14-3;(3)；(4) 。
活動：教師教會學生利用函式計算器計算，熟悉計算器的各鍵的功能，正確輸入各類數，算出數值，對於(1)，可先按底數0.3，再按xy鍵，再按冪指數2.1，最後按=，即可求得它的值；
對於(2)，先按底數3.14，再按xy鍵，再按負號-鍵，再按3，最後按=即可；
對於(3)，先按底數3.1，再按xy鍵，再按3÷4，最後按=即可；
對於(4)，這種無理指數冪，可先按底數3，其次按xy鍵，再按鍵，再按3，最後按=鍵。有時也可按2ndf或shift鍵，使用鍵上面的功能去運算。
學生可以相互交流，挖掘計算器的用途。
解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3) ≈2.336;(4) ≈6.705.
點評：熟練掌握用計算器計算冪的值的方法與步驟，感受現代技術的威力，逐步把自己融入現代信息社會；用四捨五入法求近似值，若保留小數點後n位，只需看第(n+1)位能否進位即可。
例2求值或化簡。
(1)a-4b23ab2(a>0，b>0)；
（2）(a>0，b>0)；
(3)5-26+7-43-6-42.
活動：學生觀察，思考，所謂化簡，即若能化為常數則化為常數，若不能化為常數則應使所化式子達到最簡，對既有分數指數冪又有根式的式子，應該把根式統一化為分數指數冪的形式，便於運算，教師有針對性地提示引導，對(1)由里向外把根式化成分數指數冪，要緊扣分數指數冪的意義和運算性質，對(2)既有分數指數冪又有根式，應當統一起來，化為分數指數冪，對(3)有多重根號的式子，應先去根號，這裡是二次根式，被開方數應湊完全平方，這樣，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，並對學生作及時的評價，注意總結解題的方法和規律。
解：(1)a-4b23ab2= =3b46a11 。
點評：根式的運算常常化成冪的運算進行，計算結果如沒有特殊要求，就用根式的形式來表示。
高中數學教案模板 篇4
教學目標：
（1）了解坐標法和解析幾何的意義，了解解析幾何的基本問題。
（2）進一步理解曲線的方程和方程的曲線。
（3）初步掌握求曲線方程的方法。
（4）通過本節內容的教學，培養學生分析問題和轉化的能力。
教學重點、難點：
求曲線的方程。
教學用具：
計算機。
教學方法：
啟發引導法，討論法。
教學過程：
【引入】
1、提問：什麼是曲線的方程和方程的曲線。
學生思考並回答。教師強調。
2、坐標法和解析幾何的意義、基本問題。
對於一個幾何問題，在建立坐標系的基礎上，用坐標表示點；用方程表示曲線，通過研究方程的性質間接地來研究曲線的性質，這一研究幾何問題的方法稱為坐標法，這門科學稱為解析幾何。解析幾何的兩大基本問題就是：
（1）根據已知條件，求出表示平面曲線的方程。
（2）通過方程，研究平面曲線的性質。
事實上，在前邊所學的直線方程的理論中也有這樣兩個基本問題。而且要先研究如何求出曲線方程，再研究如何用方程研究曲線。本節課就初步研究曲線方程的求法。
【問題】
如何根據已知條件，求出曲線的方程。
【實例分析】
例1：設、兩點的坐標是、(3，7)，求線段的'垂直平分線的方程。
首先由學生分析：根據直線方程的知識，運用點斜式即可解決。
解法一：易求線段的中點坐標為(1，3)，
由斜率關係可求得l的斜率為
於是有
即l的方程為
①
分析、引導：上述問題是我們早就學過的，用點斜式就可解決。可是，你們是否想過①恰好就是所求的嗎？或者說①就是直線的方程？根據是什麼，有證明嗎？
（通過教師引導，是學生意識到這是以前沒有解決的問題，應該證明，證明的依據就是定義中的兩條）。
證明：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解。
設是線段的垂直平分線上任意一點，則
即
將上式兩邊平方，整理得
這說明點的坐標是方程的解。
（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點。
設點的坐標是方程①的任意一解，則
到、的距離分別為
所以，即點在直線上。
綜合(1)、(2)，①是所求直線的方程。
至此，證明完畢。回顧上述內容我們會發現一個有趣的現象：在證明(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解中，設是線段的垂直平分線上任意一點，最後得到式子，如果去掉腳標，這不就是所求方程嗎？可見，這個證明過程就表明一種求解過程，下面試試看：
解法二：設是線段的垂直平分線上任意一點，也就是點屬於集合
由兩點間的距離公式，點所適合的條件可表示為
將上式兩邊平方，整理得
果然成功，當然也不要忘了證明，即驗證兩條是否都滿足。顯然，求解過程就說明第一條是正確的（從這一點看，解法二也比解法一優越一些）；至於第二條上邊已證。
這樣我們就有兩種求解方程的方法，而且解法二不藉助直線方程的理論，又非常自然，還體現了曲線方程定義中點集與對應的思想。因此是個好方法。
讓我們用這個方法試解如下問題：
例2：點與兩條互相垂直的直線的距離的積是常數求點的軌跡方程。
分析：這是一個純粹的幾何問題，連坐標系都沒有。所以首先要建立坐標系，顯然用已知中兩條互相垂直的直線作坐標軸，建立直角坐標系。然後仿照例1中的解法進行求解。
求解過程略。
【概括總結】通過學生討論，師生共同總結：
分析上面兩個例題的求解過程，我們總結一下求解曲線方程的大體步驟：
首先應有坐標系；其次設曲線上任意一點；然後寫出表示曲線的點集；再代入坐標；最後整理出方程，並證明或修正。說得更準確一點就是：
（1）建立適當的坐標系，用有序實數對例如表示曲線上任意一點的坐標；
（2）寫出適合條件的點的集合
；
（3）用坐標表示條件，列出方程；
（4）化方程為最簡形式；
（5）證明以化簡後的方程的解為坐標的點都是曲線上的點。
一般情況下，求解過程已表明曲線上的點的坐標都是方程的解；如果求解過程中的轉化都是等價的，那么逆推回去就說明以方程的解為坐標的點都是曲線上的點。所以，通常情況下證明可省略，不過特殊情況要說明。
上述五個步驟可簡記為：建系設點；寫出集合；列方程；化簡；修正。
下面再看一個問題：
例3：已知一條曲線在軸的上方，它上面的每一點到點的距離減去它到軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程。
【動畫演示】用幾何畫板演示曲線生成的過程和形狀，在運動變化的過程中尋找關係。
解：設點是曲線上任意一點，軸，垂足是（如圖2），那么點屬於集合
由距離公式，點適合的條件可表示為
①
將①式移項後再兩邊平方，得
化簡得
由題意，曲線在軸的上方，所以，雖然原點的坐標(0，0)是這個方程的解，但不屬於已知曲線，所以曲線的方程應為，它是關於軸對稱的拋物線，但不包括拋物線的頂點，如圖2中所示。
【練習鞏固】
題目：在正三角形內有一動點，已知到三個頂點的距離分別為、，且有，求點軌跡方程。
分析、略解：首先應建立坐標系，以正三角形一邊所在的直線為一個坐標軸，這條邊的垂直平分線為另一個軸，建立直角坐標系比較簡單，如圖3所示。設、的坐標為、，則的坐標為，的坐標為。
根據條件，代入坐標可得
化簡得
①
由於題目中要求點在三角形內，所以，在結合①式可進一步求出、的範圍，最後曲線方程可表示為
【小結】師生共同總結：
（1）解析幾何研究研究問題的方法是什麼？
（2）如何求曲線的方程？
（3）請對求解曲線方程的五個步驟進行評價。各步驟的作用，哪步重要，哪步應注意什麼？
【作業】課本第72頁練習1，2，3;
高中數學教案模板 篇5
（一）教學具準備
直尺，投影儀.
（二）教學目標
1.掌握，的定義域、值域、最值、單調區間.
2.會求含有、的三角式的定義域.
（三）教學過程
1.設定情境
研究函式就是要討論一些性質，，是函式，我們當然也要探討它的一些屬性.本節課，我們就來研究正弦函式、餘弦函式的最基本的兩條性質.
2.探索研究
師：同學們回想一下，研究一個函式常要研究它的哪些性質？
生：定義域、值域，單調性、奇偶性、等等.
師：很好，今天我們就來探索，兩條最基本的性質定義域、值域.（板書課題正、餘弦函式的'定義域、值域.）
師：請同學看投影，大家仔細觀察一下正弦、餘弦曲線的圖像.
師：請同學思考以下幾個問題：
（1）正弦、餘弦函式的定義域是什麼？
（2）正弦、餘弦函式的值域是什麼？
（3）他們最值情況如何？
（4）他們的正負值區間如何分？
（5）的解集如何？
師生一起歸納得出：
（1）正弦函式、餘弦函式的定義域都是.
（2）正弦函式、餘弦函式的值域都是即，，稱為正弦函式、餘弦函式的有界性.
（3）取最大值、最小值情況：
正弦函式，當時，函式值取最大值1，當時，函式值取最小值－1.
餘弦函式，當，時，函式值取最大值1，當，時，函式值取最小值－1.
（4）正負值區間：
（5）零點：
3.例題分析
【例1】求下列函式的定義域、值域：
（1）；（2）；（3）.
解：（1），
（2）由
又∵，∴
∴定義域為，值域為.
（3）由，又由
∴
∴定義域為，值域為.
指出：求值域應注意用到或有界性的條件.
【例2】求下列函式的最大值，並求出最大值時的集合：
（1），；（2），；
（3）（4）.
解：（1）當，即時，取得最大值
∴函式的最大值為2，取最大值時的集合為.
（2）當時，即時，取得最大值.
∴函式的最大值為1，取最大值時的集合為.
（3）若，，此時函式為常數函式.
若時，∴時，即時，函式取最大值，
∴時函式的最大值為，取最大值時的集合為.
（4）若，則當時，函式取得最大值.
若，則，此時函式為常數函式.
若，當時，函式取得最大值.
∴當時，函式取得最大值，取得最大值時的集合為；當時，函式取得最大值，取得最大值時的集合為，當時，函式無最大值.
指出：對於含參數的最大值或最小值問題，要對或的係數進行討論.
思考：此例若改為求最小值，結果如何？
【例3】要使下列各式有意義應滿足什麼條件？
（1）；（2）.
解：（1）由，
∴當時，式子有意義.
（2）由，即
∴當時，式子有意義.
4.演練反饋（投影）
（1）函式，的簡圖是
（2）函式的最大值和最小值分別為
A.2，－2 B.4，0 C.2，0 D.4，－4
（3）函式的最小值是
A.B.－2 C.D.
（4）如果與同時有意義，則的取值範圍應為
A.B.C.D.或
（5）與都是增函式的區間是
A.，B.，
C.，D.，
（6）函式的定義域________，值域________，時的集合為_________.
參考答案：1.B 2.B 3.A 4.C 5.D
6.；；
5.總結提煉
（1），的定義域均為.
（2）、的值域都是
（3）有界性：
（4）最大值或最小值都存在，且取得極值的集合為無限集.
（5）正負敬意及零點，從圖上一目了然.
（6）單調區間也可以從圖上看出.
（四）板書設計
1.定義域
2.值域
3.最值
4.正負區間
5.零點
例1
例2
例3
課堂練習
課後思考題：求函式的最大值和最小值及取最值時的集合
提示：
高中數學教案模板 篇6
一、教學目標
1.知識與技能
(1)掌握斜二測畫法畫水平設定的平面圖形的直觀圖。
(2)採用對比的方法了解在平行投影下畫空間圖形與在中心投影下畫空間圖形兩種方法的各自特點。
2.過程與方法
學生通過觀察和類比，利用斜二測畫法畫出空間幾何體的直觀圖。
3.情感態度與價值觀
(1)提高空間想像力與直觀感受。
(2)體會對比在學習中的作用。
(3)感受幾何作圖在生產活動中的套用。
二、教學重點、難點
重點、難點：用斜二測畫法畫空間幾何值的直觀圖。
三、學法與教學用具
1.學法：學生通過作圖感受圖形直觀感，並自然採用斜二測畫法畫空間幾何體的過程。
2.教學用具：三角板、圓規
四、教學思路
(一)創設情景，揭示課題
1.我們都學過畫畫，這節課我們畫一物體：圓柱
把實物圓柱放在講台上讓學生畫。
2.學生畫完後展示自己的結果並與同學交流，比較誰畫的效果更好，思考怎樣才能畫好物體的直觀圖呢?這是我們這節主要學習的內容。
(二)研探新知
1.例1，用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖，由學生閱讀理解，並思考斜二測畫法的關鍵步驟，學生髮表自己的見解，教師及時給予點評。
畫水平放置的多邊形的直觀圖的關鍵是確定多邊形頂點的位置，因為多邊形頂點的位置一旦確定，依次連結這些頂點就可畫出多邊形來，因此平面多邊形水平放置時，直觀圖的畫法可以歸結為確定點的位置的畫法。強調斜二測畫法的步驟。
練習反饋
根據斜二測畫法，畫出水平放置的正五邊形的.直觀圖，讓學生獨立完成後，教師檢查。
2.例2，用斜二測畫法畫水平放置的圓的直觀圖
教師引導學生與例1進行比較，與畫水平放置的多邊形的直觀圖一樣，畫水平放置的圓的直觀圖，也是要先畫出一些有代表性的點，由於不能像多邊那樣直接以頂點為代表點，因此需要自己構造出一些點。
教師組織學生思考、討論和交流，如何構造出需要的一些點，與學生共同完成例2並詳細板書畫法。
3.探求空間幾何體的直觀圖的畫法
(1)例3，用斜二測畫法畫長、寬、高分別是4cm、3cm、2cm的長方體ABCD-A’B’C’D’的直觀圖。
教師引導學生完成，要注意對每一步驟提出嚴格要求，讓學生按部就班地畫好每一步，不能敷衍了事。
(2)投影出示幾何體的三視圖、課本P15圖1.2-9，請說出三視圖表示的幾何體?並用斜二測畫法畫出它的直觀圖。教師組織學生思考，討論和交流完成，教師巡視幫不懂的同學解疑，引導學生正確把握圖形尺寸大小之間的關係。
4.平行投影與中心投影
投影出示課本P17圖1.2-12，讓學生觀察比較概括在平行投影下畫空間圖形與在中心投影下畫空間圖形的各自特點。
5.鞏固練習，課本P16練習1(1)，2，3，4
三、歸納整理
學生回顧斜二測畫法的關鍵與步驟
四、作業
1.書畫作業，課本P17練習第5題
2.課外思考課本P16，探究(1)(2)