數列教案

1、若 為等差數列,且 則 ;
2、若 為等差數列, 當為奇數時, , ( 中間項),
當n為偶數時, 。
3、若 為等差數列,則連續 項的和組成的數列 仍為等差數列。
4、等差數列 中,若 ,則 , 是其前 項之和,有如下性質,
一般地: ,由此式可以推出:
(1)若 ,則 ;
(2)若 則 ;
(3)若 則 ;
(4)若 ,則 。
5、有兩個等差數列 、 ,若 ,則 。
6、若 為等差數列, 為公差,則 。
7、若 、 都是等差數列,公差分別為 、 ,若這兩個數列有公共項,則公共項組成的新數列一般仍為等差數列。
8、等差數列 中, (d為公差)。
若公差非零的等差數列 中的三項 構成等比數列,則其公比為: 。
9、等差數列前項和公式 。
10、在等差數列 中,有關 的最值問題常用鄰項變號法來求解,分類如下:
(1)當 時,滿足 的項數 ,使得 取最大值;
(2)當 時,滿足 的項數 ,使得 取最小值;
說明: 存在最大值,只需 , 存在最小值,只需 。
11、若 為等比數列,則連續 項的和組成的數列 仍為等比數列。( )。
12、若 為等比數列,且 則 ;
,
13、若 為等比數列, 、 、 成等差數列,則 、 、 成等比數列,其中 、 、
14、若 為等比數列,則 。
15、若 為等差數列,則 。
16、 ;
;
。
17、兩個特殊的裂項: , 。
18、由遞推公式求數列通項公式類型與方法歸類:
類型(ⅰ) 方法:累加法
累加公式:
類型(ⅱ) 方法:累乘法
累乘公式:
類型(ⅲ) 方法:不動點法
配成 ,等比數列,其中 ;

【命題趨向】
1.等差(比)數列的基本知識是必考內容,這類問題既有選擇題、填空題,也有解答題;難度易、中、難三類皆有.
2.數列中an與sn之間的互化關係也是高考的一個熱點.
3.函式思想、方程思想、分類討論思想等數學思想方法在解決問題中常常用到,解答試題時要注意靈活套用.
4.解答題的難度有逐年增大的趨勢,還有一些新穎題型,如與導數和極限相結合等.
因此複習中應注意:
1.數列是一種特殊的函式,學習時要善於利用函式的思想來解決.如通項公式、前n項和公式等.
2.運用方程的思想解等差(比)數列,是常見題型,解決此類問題需要抓住基本量a1、d(或q),掌握好設未知數、列出方程、解方程三個環節,常通過"設而不求,整體代入"來簡化運算.
3.分類討論的思想在本章尤為突出.學習時考慮問題要全面,如等比數列求和要注意q=1和q≠1兩種情況等等.
4.等價轉化是數學複習中常常運用的,數列也不例外.如an與sn的轉化;將一些數列轉化成等差(比)數列來解決等.複習時,要及時總結歸納.
5.深刻理解等差(比)數列的定義,能正確使用定義和等差(比)數列的性質是學好本章的關鍵.
6.解題要善於總結基本數學方法.如觀察法、類比法、錯位相減法、待定係數法、歸納法、數形結合法,養成良好的學習習慣,定能達到事半功倍的效果.
7.數列套用題將是命題的熱點,這類題關鍵在於建模及數列的一些相關知識的套用.
【考點透視】
1.理解數列的概念,了解數列通項公式的意義,了解遞推公式是給出數列的一種方法,並能根據遞推公式寫出數列的前幾項.

第三章教材分析

本章是數列，特別是等差數列與等比數列，有著較為廣泛的實際套用 如各種產品尺寸常要分成若干等級，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級，比如鞋的尺碼；當其中的最大尺寸與最小尺寸相差較大時(這種情況是多數)，常按等比數列進行分級，比如汽車的載重量、包裝箱的重量等 特別值得一提的是，數列在產品尺寸標準化方面有著重要作用  數列在整箇中學數學教學內容中，處於一個知識匯合點的地位，很多知識都與數列有著密切聯繫，過去學過的數、式、方程、函式、簡易邏輯等知識在這一章均得到了較為充分的套用，而學習數列又為後面學習數列與函式的極限等內容作了鋪墊 課本採取將代數、幾何打通的混編體系的主要目的是強化數學知識的內在聯繫，而數列正是在將各知識溝通方面發揮了重要作用 由於不少關於恆等變形、解方程(組)以及一些帶有綜合性的數學問題都與等差數列、等比數列有關，學習這一章便於對學生進行綜合訓練，從而有助於培養學生綜合運用知識解決問題的能力

本章教學約需17課時，具體分配如下：

3.1 數列

約2課時

3.2 等差數列

約2課時

3.3 等差數列前n項和

約2課時

3.4 等比數列

約2課時

3.5 等比數列前n項和

約2課時

 研究性課題：分期付款中的有關計算

約3課時

小結與複習

約4課時

一、內容與要求

本章從內容上看，可以分為數列、等差數列、等比數列三個部分

《數學新課程標準》指出:數學教學是數學活動的教學,是師生之間、學生之間交往互動與共同發展的過程。在教學本節課時，我力求通過創設一個又一個的活動情境引領著孩子們去體驗、去感悟、去經歷數學化的過程，使孩子們的思維火花不斷地在課堂中迸發出來。 
教學中我首先考慮的是如何充分調動學生的主動性與積極性，通過引導他們開展觀察、操作、比較、概括、猜想、推理、交流等多種形式的活動，學生初步學會從數學的角度去觀察事物和思考問題，從而產生學習數學的願望和興趣。 
其次，為學生創設一連串能真正激起學生進行自我探究與發現問題的情境，如結合百數表、數射線探究：有什麼好辦法很快找到一個數的相鄰數？你是怎樣找與一個數相鄰的整十數的？使他們積極主動地去思考。同時，注重開發書上的例題與習題的功能，結合學生已有的生活經驗，讓他們在創造的活動中學數學，培養學生各方面的思維能力，讓不同的學生在學習上有了不同的發展。 
我覺得數學認知結構的完善和再發展也是學生數學學習的一個重要組成部分。本節課的教學過程，打破了傳統教學中新舊知識的界限，注重了一個整體：新知的探究與舊知的回顧及整理一起，讓學生從整體上把握知識的脈絡，如教學的重點（通過+1、-1得到一個數的鄰數）結合百數表的知識得以把握；教學的難點（如何使一個數回到整十數和進到整十數）通過對數射線知識的鞏固得以突破，促進了學生認知的再發展，建構了數學的知識結構，更為後繼兩位數加減一位數的學習奠定基礎。 
整堂課我有意識地創設一種民主、寬鬆、和諧的課堂氣氛，創設好一個有利於學生探索、發現、創新的教育氛圍，把傳統的教師“講數學”變成了學生“做數學”的活動，學生笑著學習，增強了學習的自信心。

 §3.1.1、的通項公式 目的：要求學生理解的概念及其幾何表示，理解什麼叫的通項公式，給出一些能夠寫出其通項公式，已知通項公式能夠求的項。重點：1的概念。按一定次序排列的一列數叫做。中的每一個數叫做的項，的第n項an叫做的通項（或一般項）。由定義知：中的數是有序的，中的數可以重複出現，這與數集中的數的無序性、互異性是不同的。2.的通項公式，如果{an}的通項an可以用一個關於n的公式來表示，這個公式就叫做的通項公式。從映射、函式的觀點看，可以看成是定義域為正整數集N*（或寬的有限子集）的函式。當自變數順次從小到大依次取值時對自學成才的一列函式值，而的通項公式則是相應的解析式。由於的項是函式值，序號是自變數，所以以序號為橫坐標，相應的項為縱坐標畫出的圖像是一些孤立的點。難點：根據前幾項的特點，以現規律後寫出的通項公式。給出的前若干項求的通項公式，一般比較困難，且有的不一定有通項公式，如果有通項公式也不一定唯一。給出的前若干項要確定其一個通項公式，解決這個問題的關鍵是找出已知的每一項與其序號之間的對應關係，然後抽象成一般形式。過程：一、從實例引入（P110）1.  堆放的鋼管  4,5,6,7,8,9,102.  正整數的倒數  3.  4.  -1的正整數次冪：-1,1,-1,1,…5.  無窮多個數排成一列數：1,1,1,1,…二、提出課題：1.  的定義：按一定次序排列的一列數（的有序性）2.  名稱：項，序號，一般公式 ，表示法 3.  通項公式： 與 之間的函式關係式如 1：  2： 4： 4.  分類：遞增、遞減；常；擺動；  有窮、無窮。5.  實質：從映射、函式的觀點看，可以看作是一個定義域為正整數集  N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函式，當自變數從小到大依次取值時對應的一列函式值，通項公式即相應的函式解析式。6.  用圖象表示：— 是一群孤立的點  例一 （P111 例一 略）三、關於的通項公式1.  不是每一個都能寫出其通項公式 （如3）2.  的通項公式不唯一 如： 4可寫成  和     3.  已知通項公式可寫出的任一項，因此通項公式十分重要例二  （P111  例二）略 四、補充例題：寫出下面的一個通項公式，使它的前 項分別是下列各數：1.1，0，1，0.    2. ， ， ， ，     3.7，77，777，7777    4.-1，7，-13，19，-25，31   5. ， ， ， 五、小結：1.的有關概念2.觀察法求的通項公式六、作業 ：  練習 P112 習題 3.1（P114）1、2七、練習：1.觀察下面的特點，用適當的數填空，關寫出每個的一個通項公式；（1） ， ， ，（ ）， ， …（2） ，（  ）， ， ， …  2.寫出下面的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數：（1）1、 、 、 ；  （2） 、 、 、 ；   （3） 、 、 、 ；  （4） 、 、 、 。3.求1，2，2，4，3，8，4，16，5，…的一個通項公式4.已知an的前4項為0， ，0， ，則下列各式 ①an=  ②an=  ③an=  其中可作為{an}通項公式的是 A ① B ①② C ②③  D ①②③ 5.已知1， ， ， ，3， …， ，…，則 是這個的（  ） A. 第10項  B.第11項  C.第12項  D.第21項  6.在{an}中a1=2,a17=66,通項公式或序號n的一次函式，求通項公式。7.設函式 （ ），{an}滿足 （1）求{an}的通項公式；（2）判斷{an}的單調性。8.在{an}中，an=（1）求證：{an}先遞增後遞減；（2）求{an}的最大項。 答案：1. （1） ，an= （2） ，an= 2.（1）an=（2）an= （3）an=（4）an= 3.an=  或an=這裡藉助了1，0，1，0，1，0…的通項公式an=。4.D  5.B 6. an=4n-2

教學目標 

1.通過教學使學生理解數列的概念，了解數列的表示法，能夠根據通項公式寫出數列的項.

2.通過數列定義的歸納概括，初步培養學生的觀察、抽象概括能力；滲透函式思想.

3.通過有關數列實際套用的介紹，激發學生學習研究數列的積極性.

教學重點，難點

教學重點是數列的定義的歸納與認識；教學難點 是數列與函式的聯繫與區別.

教學用具：電腦，課件（媒體資料），投影儀，幻燈片

教學方法：講授法為主

教學過程 

一.揭示課題

今天開始我們研究一個新課題.

先舉一個生活中的例子：場地上堆放了一些圓鋼，最底下的一層有100根，在其上一層（稱作第二層）碼放了99根，第三層碼放了98根，依此類推，問：最多可放多少層？第57層有多少根？從第1層到第57層一共有多少根？我們不能滿足於一層層的去數，而是要但求如何去研究，找出一般規律.實際上我們要研究的是這樣的一列數

（板書） 象這樣排好隊的數就是我們的研究對象——數列.

（板書）第三章 數列

（一）數列的概念

二.講解新課

要研究數列先要知道何為數列，即先要給數列下定義，為幫助同學概括出數列的定義，再給出幾列數：

（幻燈片）   ①

自然數排成一列數：

②

3個1排成一列：

③

無數個1排成一列：

④

的不足近似值，分別近似到 排列起來：

  ⑤

教材：數列、數列的通項公式

目的：要求學生理解數列的概念及其幾何表示，理解什麼叫數列的通項公式，給出一些數列能夠寫出其通項公式，已知通項公式能夠求數列的項。

過程：

一、從實例引入（P110）

1.堆放的鋼管  4,5,6,7,8,9,10

2.正整數的倒數 

3. 

4.-1的正整數次冪：-1,1,-1,1,…

5.無窮多個數排成一列數：1,1,1,1,…

二、提出課題：數列

1.數列的定義：按一定次序排列的一列數（數列的有序性）

2.名稱：項，序號，一般公式 ，表示法

3.通項公式： 與 之間的函式關係式

如 數列1：  數列2：    數列4：

4.分類：遞增數列、遞減數列；常數列；擺動數列；

  有窮數列、無窮數列。

5.實質：從映射、函式的觀點看，數列可以看作是一個定義域為正整數集

  N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函式，當自變數從小到大依

  次取值時對應的一列函式值，通項公式即相應的函式解析式。

6.用圖象表示：— 是一群孤立的點

  例一 （P111 例一 略）

 三、關於數列的通項公式

3.1.1數列

  教學目標 

  1.理解數列概念，了解數列和函式之間的關係

  2.了解數列的通項公式，並會用通項公式寫出數列的任意一項

  3.對於比較簡單的數列，會根據其前幾項寫出它的個通項公式

  4.提高觀察、抽象的能力.

  教學重點

  1.理解數列概念；

  2.用通項公式寫出數列的任意一項.

  教學難點 

  根據一些數列的前幾項抽象、歸納數列的通項公式.

教學方法

  發現式教學法

教具準備

  投影片l張(內容見下頁)

教學過程 

教學目標 

1.使學生理解的概念，了解通項公式的意義，了解遞推公式是給出的一種方法，並能根據遞推公式寫出的前幾項.

（1）理解是按一定順序排成的一列數，其每一項是由其項數唯一確定的.

（2）了解的各種表示方法，理解通項公式是第 項 與項數 的關係式，能根據通項公式寫出的前幾項，並能根據給出的一個的前幾項寫出該的一個通項公式.

（3）已知一個的遞推公式及前若干項，便確定了，能用代入法寫出的前幾項.

2.通過對一列數的觀察、歸納，寫出符合條件的一個通項公式，培養學生的觀察能力和抽象概括能力.

3.通過由 求 的過程，培養學生嚴謹的科學態度及良好的思維習慣.

教學建議

（1）為激發學生學習的興趣，體會知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中抽象出要研究的問題，使學生對所要研究的內容心中有數，如書中所給的例子，還有物品堆放個數的計算等.

（2）中蘊含的函式思想是研究的指導思想，應及早引導學生髮現與函式的關係.在教學中強調的項是按一定順序排列的，“次序”便是函式的自變數，相同的數組成的，次序不同則就是不同的.函式表示法有列表法、圖象法、解析式法，類似地，就有列舉法、圖示法、通項公式法.由於的自變數為正整數，於是就有可能相鄰的兩項（或幾項）有關係，從而就有其特殊的表示法——遞推公式法.

（3）由的通項公式寫出的前幾項是簡單的代入法，教師應精心設計例題，使這一例題為寫通項公式作一些準備，尤其是對程度差的學生，應多舉幾個例子，讓學生觀察歸納通項公式與各項的結構關係，儘量為寫通項公式提供幫助.

教學目標 

1.使學生理解的概念，了解通項公式的意義，了解遞推公式是給出的一種方法，並能根據遞推公式寫出的前幾項.

（1）理解是按一定順序排成的一列數，其每一項是由其項數唯一確定的.

（2）了解的各種表示方法，理解通項公式是第 項 與項數 的關係式，能根據通項公式寫出的前幾項，並能根據給出的一個的前幾項寫出該的一個通項公式.

（3）已知一個的遞推公式及前若干項，便確定了，能用代入法寫出的前幾項.

2.通過對一列數的觀察、歸納，寫出符合條件的一個通項公式，培養學生的觀察能力和抽象概括能力.

3.通過由 求 的過程，培養學生嚴謹的科學態度及良好的思維習慣.

教學建議

（1）為激發學生學習的興趣，體會知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中抽象出要研究的問題，使學生對所要研究的內容心中有數，如書中所給的例子，還有物品堆放個數的計算等.

（2）中蘊含的函式思想是研究的指導思想，應及早引導學生髮現與函式的關係.在教學中強調的項是按一定順序排列的，“次序”便是函式的自變數，相同的數組成的，次序不同則就是不同的.函式表示法有列表法、圖象法、解析式法，類似地，就有列舉法、圖示法、通項公式法.由於的自變數為正整數，於是就有可能相鄰的兩項（或幾項）有關係，從而就有其特殊的表示法——遞推公式法.

（3）由的通項公式寫出的前幾項是簡單的代入法，教師應精心設計例題，使這一例題為寫通項公式作一些準備，尤其是對程度差的學生，應多舉幾個例子，讓學生觀察歸納通項公式與各項的結構關係，儘量為寫通項公式提供幫助.