◎律歷上
自夫有天地焉，有人物焉，樹司牧以君臨，懸政教而成務，莫不擬乾坤之大象，稟中和以建極，揆影響之幽賾，成律呂之精微。是用範圍百度，財成萬品。昔者淳古葦籥，創睹人籟之源，女媧笙簧，仍昭鳳律之首。後聖廣業，稽古彌崇，伶倫含少，乃擅比竹之工，虞舜昭華，方傳刻玉之美。是以《書》稱："葉時月正日，同律度量衡。"又曰："予欲聞六律、五聲、八音、七始詠，以出納五言。"此皆候金常而列管，憑璇璣以運鈞，統三極之元，紀七衡之響，可以作樂崇德，殷薦上帝。故能動天地，感鬼神，和人心，移風俗，考得失，徵成敗者也。粵在夏、商，無聞改作。其於《周禮》，曲同則"掌六律六同之和，以辨天地四方陰陽之聲，以為樂器。"景王鑄鐘，問律於泠州鳩，對曰："夫律者，所以立鈞出度。"鈞有五，則權衡規矩準繩鹹備。故《詩》曰："尹氏太師，執國之鈞，天子是裨，俾眾不迷"是也。太史公《律書》云："王者制事立物，法度軌則，一稟於六律，為萬事之本。其於兵械，尤所重焉。故云：'望敵知吉凶，聞聲效勝負。"百王不易之道也。"
及秦氏滅學，其道浸微。漢室初興，丞相張蒼，首言音律，未能審備。孝武帝創置協律之官，司馬遷言律呂相生之次詳矣。及王莽之際，考論音律，劉歆條奏，班固因志之。蔡邕又記建武以後言律呂者，司馬紹統采而續之。炎歷將終，而天下大亂，樂工散亡，器法湮滅。魏武始獲杜夔，使定音律，夔依當時尺度，權備典章。及晉武受命，遵而不革。至泰始十年，光祿大夫荀勖，奏造新度，更鑄律呂。元康中，勖子藩復嗣其事。未及成功，屬永嘉之亂，中朝典章，鹹沒於石勒。及帝南遷，皇度草昧，禮容樂器，掃地皆盡。雖稍加采掇，而多所淪胥，終於恭、安，竟不能備。宋錢樂之衍京房六十律，更增為三百六十，梁博士沈重，述其名數。後魏、周、齊，時有論者。今依班志，編錄五代聲律度量，以志於篇雲。
《漢志》言律，一曰備數，二曰和聲，三曰審度，四曰嘉量，五曰衡權。自魏、晉已降，代有沿革。今列其增損之要雲。
○備數
五數者，一、十、百、千、萬也。《傳》曰："物生而後有象，滋而後有數。"是以言律者，雲數起於建子，黃鐘之律，始一，而每辰三之，歷九辰至酉，得一萬九千六百八十三，而五數備成，以為律法。又參之，終亥，凡歷十二辰，得十有七萬七千一百四十七，而辰數該矣，以為律積。以成法除該積，得九寸，即黃鐘宮律之長也。此則數因律起，律以數成，故可歷管萬事，綜核氣象。其算用竹，廣二分，長三寸，正策三廉，積二百一十六枚，成六觚，乾之策也。負策四廉，積一百四十四枚，成方，坤之策也。觚方皆經十二，天地之大數也。是故探賾索隱，鉤深致遠，莫不用焉。一、十、百、千、萬，所同由也。律、度、量、衡、歷、率，其別用也。故體有長短，檢之以度，則不失毫釐；物有多少，受之以器，則不失圭撮；量有輕重，平之以權衡，則不失黍絲；聲有清濁，協之以律呂，則不失宮商；三光運行，紀以歷數，則不差晷刻；事物糅見，御之以率，則不乖其本。故幽隱之情，精微之變，可得而綜也。
夫所謂率者，有九流焉：一曰方田，以御田疇界域。二曰栗米，以御交質變易。三曰衰分，以御貴賤廩稅。四曰少廣，以御積冪方圓。五曰商功，以御功程積實。六曰均輸，以御遠近勞費。七曰盈肭，以御隱雜互見。八曰方程，以御錯糅正負。九曰句股，以御高深廣遠。皆乘以散之，除以聚之，齊同以通之，今有以貫之。則算數之方，盡於斯矣。
古之九數，圓周率三，圓徑率一，其術疏舛。自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒，各設新率，未臻折衷。宋末，南徐州從事史祖沖之，更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。又設開差冪，開差立，兼以正圓參之。指要精密，算氏之最者也。所著之書，名為《綴術》，學官莫能究其深奧，是故廢而不理。