方程的根與函式的零點教案 篇1
§3.1.1 方程的根與函式的零點教學目的：1、結合二次函式的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函式的零點與方程根的關係；2、根據具體函式的圖象，能夠藉助計算器或計算機用二分法求相應方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。教學重點：函式的零點的概念及求法；能夠藉助計算器或計算機用二分法求相應方程的近似解。教學難點：利用函式的零點作簡圖；對二分法的理解。課時安排：3課時 教學過程：一、 引入課題
1、思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根與二次函式y=ax2+bx+c (a≠0)的圖象有什麼關係？
2、指出：（1）方程x2-2x-3=0的根與函式y= x2-2x-3的圖象之間的關係；（2）方程x2-2x+1=0的根與函式y= x2-2x+1的圖象之間的關係；（3）方程x2-2x+3=0的根與函式y= x2-2x+3的圖象之間的關係.二、新課教解
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根與二次函式y= ax2+bx+c (a≠0)的圖象有如下關係：
判別式△=b2-4ac
△>0
△=0
△<0
二次函y=ax2+bx+c 的圖象 xyx1x2xyx1=x2yx
與x軸有兩個交點（x1,0）,(x2,0)
與x軸有唯一的交點（x1,0）
與x軸沒有交點
一元一次方程ax2+bx+c=0 的根
有兩個不等的實數根x1，x2 x1<x2
有兩個相等實數根x1=x2
沒有實數根
2、函式零點的概念
對於函式y=f(x),我們把使f(x)=0的實數x叫做函式y=f(x)的零點(zero point).
方程f(x)=0有實數根 函式y=f(x)的圖象與x軸 有交點 函式y=f(x)有零點
3、連續函式在某個區間上存在零點的判別方法：
如果函式y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷一條曲線，並且有f(a)·f(b)<0，那么，函式y=f(x)在區間(a,b)內有零點.即存在c∈(a,b)，使得f(c )=0，這個c也就是方程f(x)=0的根.
例1 求函式f(x)=lnx+2x-6的零點個數.練習：p103 第1、2題.
思考：怎樣求解方程lnx+2x-6=0？
4、二分法
對於在區間[a,b]上連續不斷、且f(a) · f(b)<0的函式y=f(x)，通過不斷把函式f(x)的零點所在區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫二分法。
步驟：1、確定區間[a,b]，驗證f(a) · f(b)<0，給定精確度ε
2、求區間(a,b)的中點x1
3、計算f(x1);
(1) 若f(x1)=0,則x1就是函式的零點
(2) 若f(a) · f(x1)<0,則令b= x1(此時零點x0∈(a,x1))
(3) 若f(b)· f(x1)<0,則令a= x1(此時零點x0∈(x1,b))
4、判斷是否達到精確度ε，即若|a-b|< ε,則得到零點的近似值a(或b)；否則得復2～4。
例2、藉助電子計算器或計算機用二分法求方程 的近似解（精確到0.1）。練習：p106 第1、2題.三、歸納小結，強化思想 本節主要學習了函式的零點的概念及求法；藉助計算器或計算機用二分法求相應方程的近似解。四、作業布置1. 必做題：教材p108習題3.1（a組） 第1－6題.2. 選做題：教材p109習題3.1（b組） 第2題
方程的根與函式的零點教案 篇2
教學要求：
結合二次函式的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函式的零點與方程根的聯繫；掌握零點存在的判定條件.
教學重點：
體會函式的零點與方程根之間的聯繫，掌握零點存在的判定條件.
教學難點：
恰當的使用信息工具，探討函式零點個數.
教學過程：
一、複習準備：
思考：一元二次方程 +bx+c=o（a 0）的根與二次函式y=ax +bx+c的圖象之間有什麼關係？
二、講授新課：
1、探討函式零點與方程的根的關係：
① 探討：方程x -2x-3=o 的根是什麼？函式y= x -2x-3的圖象與x軸的交點?
方程x -2x+1=0的根是什麼？函式y= x -2x+1的圖象與x軸的交點？
方程x -2x+3=0的根是什麼？函式y= x -2x+3的圖象與x軸有幾個交點？
② 根據以上探討，讓學生自己歸納並發現得出結論： → 推廣到y=f（x）呢？
一元二次方程 +bx+c=o（a 0）的根就是相應二次函式y=ax +bx+c的圖象與x軸交點橫坐標.
③ 定義零點：對於函式y=f（x）,我們把使f（x）=0的實數x叫做函式y=f（x）的零點.
④ 討論：y=f（x）的零點、方程f（x）=0的實數根、函式y=f（x） 的圖象與x軸交點的橫坐標的關係？
結論：方程f（x）=0有實數根 函式y=f（x） 的圖象與x軸有交點 函式y=f（x）有零點
⑤ 練習：求下列函式的零點 ； → 小結：二次函式零點情況
2、教學零點存在性定理及套用：
① 探究：作出 的圖象，讓同學們求出f（2）,f（1）和f（0）的值, 觀察f（2）和f（0）的符號
②觀察下面函式 的圖象，在區間 上______（有/無）零點； _____0（＜或＞）. 在區間 上______（有/無）零點； _____0（＜或＞）. 在區間 上______（有/無）零點； _____0（＜或＞）.
③定理：如果函式y=f（x）在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，並且有f（a）.f（b）0,那么，函式y=f（x）在區間（a,b）內有零點，即存在c （a,b）,使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根.
④ 套用：求函式f（x）=lnx+2x-6的零點的個數. （試討論一些函式值→分別用代數法、幾何法）
⑤小結：函式零點的求法
代數法：求方程 的實數根；
幾何法：對於不能用求根公式的方程，可以將它與函式 的圖象聯繫起來，並利用函式的性質找出零點.
⑥ 練習：求函式 的零點所在區間.
3、小結：零點概念；零點、與x軸交點、方程的根的關係；零點存在性定理
三、鞏固練習：
1. p97, 1,題 2,題 （教師計算機演示，學生回答）
2. 求函式 的零點所在區間，並畫出它的大致圖象.
3. 求下列函式的零點：
4.已知 ：
（1） 為何值時，函式的圖象與 軸有兩個零點；
（2）如果函式至少有一個零點在原點右側，求 的值.
5. 作業：p102, 2題；p125 1題。
方程的根與函式的零點教案 篇3
學習目標
1. 結合二次函式的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函式的零點與方程根的聯繫;
2. 掌握零點存在的判定定理.
學習過程
一、課前準備
（預習教材P86~ P88，找出疑惑之處）
複習1：一元二次方程 +bx+c=0 （a 0）的解法.
判別式 = .
當 0，方程有兩根，為 ;
當 0，方程有一根，為 ;
當 0，方程無實根.
複習2：方程 +bx+c=0 （a 0）的根與二次函式y=ax +bx+c （a 0）的圖象之間有什麼關係?
判別式 一元二次方程 二次函式圖象
二、新課導學
學習探究
探究任務一：函式零點與方程的根的關係
問題：
① 方程 的解為 ，函式 的圖象與x軸有 個交點，坐標為 .
② 方程 的解為 ，函式 的圖象與x軸有 個交點，坐標為 .
③ 方程 的解為 ，函式 的圖象與x軸有 個交點，坐標為 .
根據以上結論，可以得到：
一元二次方程 的根就是相應二次函式 的圖象與x軸交點的 .
你能將結論進一步推廣到 嗎?
新知：對於函式 ，我們把使 的實數x叫做函式 的零點（zero point）.
反思：
函式 的零點、方程 的實數根、函式 的圖象與x軸交點的橫坐標，三者有什麼關係?
試試：
（1）函式 的零點為 ;
（2）函式 的零點為 .
小結：方程 有實數根 函式 的圖象與x軸有交點 函式 有零點.
探究任務二：零點存在性定理
問題：
① 作出 的圖象，求 的值，觀察 和 的符號
② 觀察下面函式 的圖象，
在區間 上 零點; 0;
在區間 上 零點; 0;
在區間 上 零點; 0.
新知：如果函式 在區間 上的圖象是連續不斷的一條曲線，並且有 0，那么，函式 在區間 內有零點，即存在 ，使得 ，這個c也就是方程 的根.
討論：零點個數一定是一個嗎? 逆定理成立嗎?試結合圖形來分析.
典型例題
例1求函式 的零點的個數.
變式：求函式 的零點所在區間.
小結：函式零點的求法.
① 代數法：求方程 的實數根;
② 幾何法：對於不能用求根公式的方程，可以將它與函式 的圖象聯繫起來，並利用函式的性質找出零點.
動手試試
練1. 求下列函式的零點：
練2. 求函式 的零點所在的大致區間.
三、總結提升
學習小結
①零點概念;
②零點、與x軸交點、方程的根的關係;
③零點存在性定理
知識拓展
圖象連續的函式的零點的性質：
（1）函式的圖象是連續的，當它通過零點時（非偶次零點），函式值變號.
推論：函式在區間 上的圖象是連續的，且 ，那么函式 在區間 上至少有一個零點.
（2）相鄰兩個零點之間的函式值保持同號.
學習評價
自我評價 你完成本節導學案的情況為（ ）.
A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差
當堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分：
1. 函式 的零點個數為（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.若函式 在 上連續，且有 .則函式 在 上（ ）.
A. 一定沒有零點 B. 至少有一個零點
C. 只有一個零點 D. 零點情況不確定
3. 函式 的零點所在區間為（ ）.
A. B. C. D.
4. 函式 的零點為 .
5. 若函式 為定義域是R的奇函式，且 在 上有一個零點.則 的零點個數為 .
課後作業
1. 求函式 的零點所在的大致區間，並畫出它的大致圖象.
2. 已知函式 .
（1） 為何值時，函式的圖象與 軸有兩個零點;
（2）若函式至少有一個零點在原點右側，求 值.
方程的根與函式的零點教案 篇4
一、教學內容解析
本節課的主要內容有函式零點的的概念、函式零點存在性判定定理。
函式f（x）的零點,是中學數學的一個重要概念,從函式值與自變數對應的角度看,就是使函式值為0的實數x;從方程的角度看,即為相應方程f（x）=0的實數根，從函式的圖形表示看,函式的零點就是函式f（x）與x軸交點的橫坐標.函式是中學數學的核心概念，核心的根本原因之一在於函式與其他知識具有廣泛的聯繫性，而函式的零點就是其中的一個鏈結點,它從不同的角度,將數與形,函式與方程有機的聯繫在一起。
函式零點的存在性判定定理，其目的就是通過找函式的零點來研究方程的根，進一步突出函式思想的套用，也為二分法求方程的近似解作好知識上和思想上的準備。定理不需證明，關鍵在於讓學生通過感知體驗並加以確認，由些需要結合具體的實例，加強對定理進行全面的認識，比如定理套用的局限性，即定理的前提是函式的圖象必須是連續的，定理只能判定函式的“變號”零點;定理結論中零點存在但不一定唯一，需要結合函式的圖象和性質作進一步的判斷。
對函式與方程的關係有一個逐步認識的過程，教材遵循了由淺入深、循序漸進的原則.從學生認為較簡單的一元二次方程與相應的二次函式入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應的二次函式的零點的聯繫，然後將其推廣到一般方程與相應的函式的情形。
函式與方程相比較,一個“動”，一個“靜”;一個“整體”，一個“局部”。用函式的觀點研究方程，本質上就是將局部的問題放在整體中研究，將靜態的結果放在動態的過程中研究，這為今後進一步學習函式與不等式等其它知識的聯繫奠定了堅實的基礎。
本節是函式套用的第一課，因此教學時應當站在函式套用的高度，從函式與其他知識的聯繫的角度來引入較為適宜。
二、教學目標解析
1.結合具體的問題，並從特殊推廣到一般，使學生領會函式與方程之間的內在聯繫，從而了解函式的零點與方程根的聯繫。
2.結合函式圖象，通過觀察分析特殊函式的零點存在的特點，通過問題，理解連續函式在某個區間上存在零點的判定方法，並能由此方法判定函式在某個區間上存在零點。了解定理套用的前提條件，套用的局限性，及定理的準確結論。
3.通過具體實例，學生能結合函式的圖象和性質進一步判斷函式零點的個數。
4.在學習過程中，體驗函式與方程思想及數形結合思想。
三、教學問題診斷分析
1.通過前面的學習，學生已經了解一些基本初等函式的模型，掌握了函式圖象的一般畫法，及一定的看圖識圖能力,這為本節課利用函式圖象，判斷方程根的存在性提供了一定的知識基礎。對於函式零點的概念本質的理解，學生缺乏的是函式的觀點，或是函式套用的意識，造成對函式與方程之間的聯繫缺乏了解。由此作為函式套用的第一課時，有必要點明函式的核心地位，即說明函式與其他知識的聯繫及其在生活中的套用，初步樹立起函式套用的意識。並從此出發，通過問題的設定，引導學生思考，再通過實例的確認與體驗，從直觀到抽象，從特殊到一般的學習方式，捅破學生認識上的這層“窗戶紙”。
2.對於零點存在的判定定理，教材不要求給予其證明，這需要教師提供一定量的具體案例讓學生操作感知，同時鼓勵學生舉例來驗證，最終能自主地獲得並確認該定理的結論。對於定理的條件和結論，學生往往考慮不夠深入，需要教師通過具體的問題，引導學生從正面、反面、側面等不同的角度重新進行審視。
3.函式的零點，體現了函式與方程之間的密切聯繫，教學中應遵循高中數學以函式為主線的這一原則進行聯結，側重在從函式的角度看方程，同時為二分法求方程的近似解作知識和思想上的準備。
四、教學過程設計
（一）創設情景，揭示課題
函式是中學數學的核心內容，它不僅在生活中有著大量的套用，與其他數學知識有著千絲萬縷的聯繫，若能抓住這一聯繫，你就擁有了一把解決問題的金鑰匙。
案例1：周長為定值的矩形
不妨取l=12
問題1：求其面積的值：
顯然面積是一個關於x的一個二次多項式，用幾何畫板演示矩形的變化：
問題2：求矩形面積的最大值?
當x取不同值時，代數式的值也相應隨之變化，你能從函式的角度審視其中的關係嗎?
問題3：能否使得矩形的面積為8?你是如何分析的?
（1）實驗演示的角度進行估計，拖動時難以恰好出現面積為8的情況;
（2）解方程：x（6-x）=8
（3）方程x（6-x）=8能否從函式的角度來進行描述?
問題4：
一般地，對於一般的二次三項式，二次方程與二次函式，它們之間有何聯繫?
結論：
代數式的值就是相應的函式值;方程的根就是使相應函式值為0的x的值。
更一般地方程f（x）=0的根，就是使函式值y=f（x）的函式值為0的x值，從函式的角度我們稱之為零點。
設計意圖:本節課是函式套用的第一課，有必要讓學生對函式的套用有所了解。從具體的問題出發,揭示函式與代數式、方程之間的內在聯繫，並從學生所熟悉的具體的二次函式，推廣到一般的二次函式，再進一步推廣到一般的函式。
（二） 互動交流 研討新知
1.函式零點的概念：
對於函式，把使成立的實數叫做函式的零點.
2.對零點概念的理解
案例2：觀察圖象
問題1：此圖象是否能表示函式?
問題2：你能從中分析函式有哪些零點嗎?
問題3：從函式圖象的角度，你能對函式的零點換一種說法嗎?
結論：函式的零點就是方程實數根，亦即函式的圖象與軸交點的橫坐標.即：方程有實數根函式的圖象與軸有交點函式有零點.
設計意圖：進一步掌握函式的核心概念，同時通過圖象進行一步完善對函式零點的全面理解，為下面藉助圖象探究零點存在性定理作好一定的鋪墊。
2.零點存在定理的探究
案例3：下表是三次函式的部分對應值表：
問題1：你能從表中找出函式的零點嗎?
問題2：結合圖象與表格，你能發現此函式零點的附近函式值有何特點?
生：兩邊的函式值異號!
問題3：如果一個函式f（x）滿足f（a）f（b）0,在區間（a,b）上是否一定存在著函式的零點?
注意:函式在區間上必須是連續的（圖象能一筆畫）,從而引出零點存在性定理.
問題4: 有位同學畫了一個圖,認為定理不一定成立,你的看法呢?
問題5:你能改變定理的條件或結論,得到一些新的命題嗎?
如1:加強定理的結論:若在區間[a，b]上連續函式f（x）滿足f（a）f（b）0,是否意味著函式f（x）在[a,b]上恰有一個零點?
如2.將定理反過來:若連續函式f（x）在[a,b]上有一個零點,是否一定有f（a）f（b）0?
如3:一般化:一個函式的零點是否都可由上述的定理進行判斷?（反例:同號零點,如案例2中的零點-2）
設計意圖：通過表格，是為了進一步鞏固對函式這一概念的全面認識，並為觀察零點存在性定理中函式值的異號埋下伏筆。通過教師的設問讓學生進一步全面深入地領悟定理的內容，而鼓勵學生提問，是培養學生學習主動性和創造能力必要的過程。
（三）鞏固深化，發展思維
例1、求函式f（x）=㏑x+2x -6的零點個數。
設計問題：
（1）你可以想到什麼方法來判斷函式零點?
（2）你是如何來確定零點所在的區間的?請各自選擇。
（3）零點是唯一的嗎?為什麼?
設計意圖：對所學內容鞏固，可以藉助幾何畫板畫出函式f（x）的圖象觀察,也可藉助列出函式值表觀察。
本題可以使學生意識對零點的區間是不唯一的，為下一節二分法求方程的近似解奠定基礎。
讓學生進一步領悟，零點的唯一性需要藉助函式的單調性。
（四）歸納整理，整體認識
請回顧本節課所學知識內容有哪些?
所涉及到的主要數學思想又有哪些?
你還獲得了什麼?
（五）作業（略）
方程的根與函式的零點教案 篇5
一、教學目標
（1）知識與技能：
結合二次函式的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及個數，從而了解函式的零點與方程的根的聯繫.理解並會用零點存在性定理。
（2）過程與方法：
培養學生觀察、思考、分析、猜想，驗證的能力，並從中體驗從特殊到一般及函式與方程思想。
（3）情感態度與價值觀：
在引導學生通過自主探究，發現問題，解決問題的過程中，激發學生學習熱情和求知慾，體現學生的主體地位，提高學習數學的興趣。
二、教學重難點
重點：體會函式零點與方程根之間的聯繫，掌握零點的概念
難點：函式零點與方程根之間的聯繫
三、教法學法
以問題為載體，學生活動為主線，以多媒體輔助教學為手段利用探究式教學法，構建學生自主探究、合作交流的平台
四、教學過程
1.創設問題情境，引入新課
問題1求下列方程的根
師生互動:問題1讓學生通過自主解前3小題，複習一元二次方程根三種情形。
問題2填寫下表，探究一元二次方程的根與相應二次函式與x軸的交點的關係？
師生互動:讓學生自主完成表格，觀察並總結數學規律
問題3完成表格，並觀察一元二次方程的根與相應二函式圖象與x軸交點的關係？
師生互動:讓學生通過探究，歸納概括所發現結論，並能用相對準確的數學語言表達。
2.建構函式零點概念
函式零點的概念：對於函式y=f（x）,我們把使f（x）=0的實數x叫做函式y=f（x）的零點。
思考：
（1）零點是一個點嗎？
（2）零點跟方程的根的關係？
（3）請你說出問題2中3個函式的零點及個數？（投影問題2的表格）
師生互動:教師逐一給出3個問題，讓學生思考回答，教師對回答正確學生給予表揚，不正確學生給予提示與鼓勵。
3.知識的延伸，得出等價關係
（1）方程f（x）=0有實數根
（2）函式y=f（x）有零點
（3）函式y=f（x）的圖象與x軸有交點。