基本不等式教案

基本不等式 篇1

課題: §3.4

【學習目標】

1.知識與技能：學會推導並掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，並掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：若且唯若這兩個數相等；

2.過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；

3.情態與價值：通過本節的學習，體會數學來源於生活，提高學習數學的興趣

【能力培養】

培養學生嚴謹、規範的學習能力，分析問題、解決問題的能力。

【教學重點】

套用數形結合的思想理解不等式，並從不同角度探索不等式 的證明過程；及其在求最值時初步套用

【教學難點】

基本不等式 等號成立條件

【教學過程】

一、課題導入

基本不等式 的幾何背景：如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，教師引導學生從面積的關係去找不等關係。

二、講授新課

1.問題探究——探究圖形中的不等關係。

將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形abcd中右個全等的直角三角形。設直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為 。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為 。由於4個直角三角形的面積小於正方形的面積，我們就得到了一個不等式： 。

當直角三角形變為等腰直角三角形，即a=b時，正方形efgh縮為一個點，這時有 。

2.總結結論：一般的，如果

（結論的得出儘量發揮學生自主能動性，讓學生總結，教師適時點撥引導）

3.思考證明：（讓學生嘗試給出它的證明）

4.特別的，如果a>0,b>0,我們用 分別代替a、b ，可得，

篇一

在複習完基本不等式第二課時後，我對這節課做了如下的反思：

一.在教學過程中要充分發揮學生的主體地位

在課堂上，無論是新教師還是老教師，通常會把自己當做課堂上的主人而過多的會忽略學生的主體地位;或者學生會因為長時間的習慣於聽老師來講解而忘記自己是課堂的主人。

在這節課中，我設計了多個讓學生討論的環節，但是當我說了同學們可以和自己的同桌討論一下自己獲得的結論之後教室里還是會很安靜。這樣的課堂活動經過了一分鐘後，我不得不自己來講解我設計好的問題。此時我感覺到這節已經失敗了，因為我占據了本該屬於學生的時間。

二.要設計好教學問題

在教學中應合理設計教學中所要用的問題，我設計的學生互動環節為什麼沒有成功呢?我想很大的原因是我沒有設計好問題，在提問題時沒有明確我要求他們要給我什麼樣的結果。在這節課中，我大部分的問題都是這樣問的：請同學們自己首先來做一下這道題目，然後跟自己的同桌討論一下自己的結果是否正確。當學生聽到這樣的問題時，他們首先會自己一個人去完成題目，而不會跟自己的夥伴合作完成。而且在數學教學中對問題的梯度設計很重要，因為新課程很強調概念的形成過程，而概念的產生是一個抽象的過程，所以在教學時要非常好的展示給學生概念是怎么產生的，而這個教學環節就要求教師能夠設計好問題的梯度。

三.要學會設計有深度的問題

在本節課的教學中，我問的最多的問題就是：同學們明白了沒有啊，或者對不對啊，是不是這樣的啊這些膚淺的問題。而從課堂效果看，這些問題並沒有調動學生的學習積極性，學生也只是機械的回答一下：是或者不是，對或者不對。使學生跟老師之間的溝通成了一種機械的問答過程。所以在以後的教學中我應該更加重視對問題深度的要求。

課題: §3.4

【學習目標】

1.知識與技能：學會推導並掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，並掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：若且唯若這兩個數相等；

2.過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；

3.情態與價值：通過本節的學習，體會數學來源於生活，提高學習數學的興趣

【能力培養】

培養學生嚴謹、規範的學習能力，分析問題、解決問題的能力。

【教學重點】

套用數形結合的思想理解不等式，並從不同角度探索不等式 的證明過程；及其在求最值時初步套用

【教學難點】

基本不等式 等號成立條件

【教學過程】

一、課題導入

基本不等式 的幾何背景：如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，教師引導學生從面積的關係去找不等關係。

二、講授新課

1.問題探究——探究圖形中的不等關係。

將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形abcd中右個全等的直角三角形。設直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為 。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為 。由於4個直角三角形的面積小於正方形的面積，我們就得到了一個不等式： 。

當直角三角形變為等腰直角三角形，即a=b時，正方形efgh縮為一個點，這時有 。

2.總結結論：一般的，如果

（結論的得出儘量發揮學生自主能動性，讓學生總結，教師適時點撥引導）

3.思考證明：（讓學生嘗試給出它的證明）

4.特別的，如果a>0,b>0,我們用 分別代替a、b ，可得，

通常我們把上式寫作：

①從不等式的性質推導基本不等式

用分析法證明：（略）

②理解基本不等式 的幾何意義

探究：對課本第98頁的“探究”（ 幾何證明）

注:在數學中，我們稱 為a、b的算術平均數，稱 為a、b的幾何平均數.本節定理還可敘述為：兩個正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數.

5、例：當 時， 取什麼值， 的值最小？最小值是多少？

6、課時小結

本節課，我們學習了重要不等式a2＋b2≥2ab；兩正數a、b的算術平均數（ ），幾何平均數（ ）及它們的關係（ ≥ ）.它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實數，而後者要求a、b都是正數.它們既是不等式變形的基本工具，又是求函式最值的重要工具(下一節我們將進一步學習它們的套用).

7、作業：

課本第100頁習題[a]組的第1、2題

板書 設 計

課題: §3.4基本不等式

一、兩個不等式

二、例題及練習

【教後小結】

不等式證明 篇1

教材：不等式證明一（比較法）

目的：以不等式的等價命題為依據，揭示不等式的常用證明方法之一——比較法，要求學生能教熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。

過程：

一、複習：

1.不等式的一個等價命題

2.比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——判斷——結論

二、作差法：（P13—14）

甲乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路

目的：以不等式的等價命題為依據，揭示不等式的常用證明方法之一——比較法，要求學生能教熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。

過程：

一、複習：

1.不等式的一個等價命題

2.比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——判斷——結論

二、作差法：（P13—14）

1. 求證：x2 + 3 > 3x

證：∵(x2 + 3) - 3x =

∴x2 + 3 > 3x

2. 已知a, b, m都是正數，並且a < b，求證：

證：

∵a,b,m都是正數，並且a<b，∴b + m > 0 ,  b - a > 0

∴   即：

變式：若a > b，結果會怎樣？若沒有“a < b”這個條件，應如何判斷？

3. 已知a, b都是正數，並且a ¹ b，求證：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

證：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) =( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 )

=a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) =(a2 - b2 ) (a3 - b3)

=(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)

第二冊不等式 篇1

教學目標 

1.  使學生掌握不等式的三條基本性質；

2.  培養學生觀察、分析、比較的能力，提高他們靈活地運用所學知識解題的能力.

教學重點和難點

重點：不等式的三條基本性質的運用.

難點：不等式的基本性質3的運用.

課堂教學過程 設計

一、從學生原有的認知結構提出問題

1.  什麼叫不等式？說出不等式的三條基本性質.

2.  當x取下列數值時，不等式1-5x＜16是否成立？

3，-4，-3，4，2.5，0，-1.

3.  用不等式表示下列數量關係：

（1） x的3倍大於x的2倍與5的差；  （3）y的 與x的 的差小於2；

（2） y的一半與4的和是負數；  （4）5與a的4倍的差不是正數.

4.  按照下列條件寫出仍然成立的不等式，並說明根據不等式的哪一條基本性質：

（1）m＞n，兩邊都減去3；  （2）m＞n，兩邊同乘以3；

（3）m＞n，兩邊同乘以-3；  （4）m＞n，兩邊同乘以-3；

（5）m＞n，兩邊同乘以 .

（以上各題中，從第2題開始，用投影儀打在螢幕上.學生在回答上述問題時，如遇到困難，教師應做適當點撥）在學生回答完上述問題的基礎上，教師指出：本節課我們將通過學習例題和練習，進一步鞏固並熟練掌握不等式的基本性質，尤其是不等式基本性質。

不等式的證實 篇1

教學目標

(1)理解證實不等式的三種方法:比較法、綜合法和分析法的意義;

(2)把握用比較法、綜合法和分析法來證簡單的不等式;

(3)能靈活根據題目選擇適當地證實方法來證不等式;

(4)能用不等式證實的方法解決一些實際問題,培養學生分析問題、解決問題的能力;

(6)通過不等式證實,培養學生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力;

(7)通過組織學生對不等式證實方法的意義和套用的參與,培養學生勤于思考、善於思考的良好學習習慣.

教學建議

(一)教材分析

1.知識結構

2.重點、難點分析

重點:不等式證實的主要方法的意義和套用;

難點:①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的;

②綜合性問題選擇適當的證實方法.

(1)不等式證實的意義

不等式的證實是要證實對於滿足條件的所有數都成立(或都不成立),而並非是帶入具體的數值去驗證式子是否成立.

(2)比較法證實不等式的分析

①在證實不等式的各種方法中,比較法是最基本、最重要的方法.

②證實不等式的比較法,有求差比較法和求商比較法兩種途徑.

由於 ,因此,證實 ,可轉化為證實與之等價的 .這種證法就是求差比較法.

由於當 時, ,因此,證實 可以轉化為證實與之等價的 .這種證法就是求商比較法,使用求商比較法證實不等式 時,一定要注重 的前提條件.

③求差比較法的基本步驟是:“作差——變形——斷號”.

其中,作差是依據,變形是手段,判定符號才是目的.

變形的目的全在於判定差的符號,而不必考慮差值是多少.

數學教案－不等式的證明 篇1

第二課時

教學目標 

1.進一步熟練掌握比較法證明不等式；

2.了解作商比較法證明不等式；

3.提高學生解題時應變能力.

教學重點 比較法的套用

教學難點  常見解題技巧

教學方法 啟發引導式

教學活動

（一）導入新課

（教師活動）教師打出字幕（複習提問），請三位同學回答問題，教師點評.

（學生活動）思考問題，回答.

［字幕］1.比較法證明不等式的步驟是怎樣的？

2.比較法證明不等式的步驟中，依據、手段、目的各是什麼？

3.用比較法證明不等式的步驟中，最關鍵的是哪一步？學了哪些常用的變形方法？對式子的變形還有其它方法嗎？

[點評]用比較法證明不等式步驟中，關鍵是對差式的變形.在我們所學的知識中，對式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解.這節課我們將繼續學習比較法證明不等式，積累對差式變形的常用方法和比較法思想的套用.（板書課題）

設計意圖：複習鞏固已學知識，銜接新知識，引入本節課學習的內容.

（二）新課講授

【嘗試探索，建立新知】

（教師活動）提出問題，引導學生研究解決問題，並點評.

（學生活動）嘗試解決問題.

[問題]

1.化簡 

2.比較  與  （  ）的大小.

（學生解答問題）

［點評］

①問題1，我們採用了因式分解的方法進行簡化.

②通過學習比較法證明不等式，我們不難發現，比較法的思想方法還可用來比較兩個式子的大小.

不等式和它的基本性質 篇1

教學建議

一、知識結構

二、重點、難點分析

本節教學的重點是不等式的三條基本性質.難點是不等式的基本性質3.掌握不等式的三條基本性質是進一步學習一元一次不等式（組）的解法等後續知識的基礎.

1.不等式的概念

用不等號（“＜”、“＞”或“≠”表示不等關係的式子，叫做不等式.

另外， （“≥”是把“＞”、“＝”）結合起來，讀作“大於或等於”，或記作“≮”，亦即“不小於”）、 （“≤”是把“＜”、“＝”結合起來，讀作“小於或等於”，或記作“≯”，也就是“不大於”）等等，也都是不等式.

2.當不等式的兩邊都加上或乘以同一個正數或負數時，所得結果仍是不等式.但變形所得的不等式中不等號的方向，有的與原不等式中不等號的方向相同，有的則不相同.因而敘述時不能籠統說成“……仍是不等式”，而應明確變形所得的不等式中不等號的方向.

3.不等式成立與不等式不成立的意義

例如：在不等式 中，字母 表示未知數.當 取某一數值 時， 的值小於2，我們就說當 時，不等式 成立；當 取另外某一個數值 時， 的值不小於2，我們就說當 時， 不等式不成立.

4.不等式的三條基本性質是不等式變形的重要依據，性質1、2類似等式性質，不等號的方向不改變，性質3不等號的方向改變，這是不等式獨有的性質，也是初學者易錯的地方，因此要特別注意.

一、素質教育目標

（－）知識教學點

1.了解不等式的意義.

2.理解什麼是不等式成立，掌握不等式是否成立的判定方法.

3.能依題意準確迅速地列出相應的不等式.

（二）能力訓練點

1.培養學生運用類比方法研究相關內容的能力.

2.訓練學生運用所學知識解決實際問題的能力.

（三）德育滲透點

通過引導學生分析問題、解決問題，培養他們積極的參與意識，競爭意識.

（四）美育滲透點

通過不等式的學習，滲透具有不等量關係的數學美.

二、學法引導