這股思潮影響了兩個世紀。但是，數學畢竟不是形式。數學最豐富的源泉在於現實世界的數量關係。20世紀30年代，哥德爾證明了，希爾伯特的公理體系如果包含自然數在內，那么總存在一個命題，用公理無法判斷其為真，也無法判斷其為假。於是，這個公理系在形式上是不完備的，即不能自圓其說的。於是，形式主義的數學觀得到了致命的批判。
第五章 數學教育的基本理論
數學教育作為一門學科，始自20世紀初，目前還不滿1XX年。19XX年成立國際數學教育委員會，數學教育成為國際性的事務。但是在第二次世界大戰之前，數學教育的研究只限於各國的“數學教學大綱”、“數學教學計畫”等檔案的交流，尚無數學教育的理論著作問世。第二次世界大戰結束後，數學教育進入一個迅猛發展的時期，各種數學教育的著作大量出現。但是，真正形成數學教育理論形態的研究並不多，似乎只有弗來登塔爾和波利亞兩位的工作得到比較廣泛的承認。心理學家皮亞傑倡導的建構主義學說，對數學教育有很大影響。中國的“雙基”數學教育，積累了豐富的經驗。
弗賴登塔爾認為，數學來源於現實，存在於現實，並且套用於現實，而且每個學生有各自不同的“數學現實”。數學教師的任務之一是幫助學生構造數學現實，並在此基礎上發展他們的數學現實。因此，在教學過程中，教師應該充分利用學生的認知規律，已有的生活經驗和數學的實際，靈活處理教材，根據實際需要對原材料進行最佳化組合。把例題生活化，讓學生易懂易學。通過設計與生活現實密切相關的問題，幫助學生認識到數學與生活有的密切聯繫，從而體會到學好數學對於我們的生活有很大的幫助，無形當中產生了學習數學的動力。這也就是弗賴登塔爾常常說的數學教育即是現實的數學教育。
波利亞對數學教育的基本看法，波利亞對於數學教育的目的、價值、方法非常關注。他認為，“中國小生到底為什麼要學習數學？要學什麼樣的數學？通過什麼途徑學好數學？”具體一點就是，在中國小階段，是以“學數學”為主呢，還是以學如何“用數學”為主呢？這一點必須弄清楚。在他看來，中學數學教育的根本目的就是“教會年輕人思考。”這種思考既是有目的思考，產生式的思考，也包括形式的和非形式的思維。教師要努力做的就是“教學學生證明問題，甚至也教他們猜想問題”，啟發學生自己發現解法，從而從根本上提高學生的解題能力。當然，他也強調數學教育中培養學生的興趣、好奇心、毅力、意志、情感體驗等非智力品質的重要性。因為，要學會解題，要成為解題能手，是要經過大量的解題實踐，是要付出艱辛的努力，需要有一定的意志品質的，並不是說在玩就能學會解題，要學好數學畢竟不是一件輕輕鬆鬆的事情。
波利亞強調，要成為一個好的解題目者，如果“頭腦不活動起來，是很難學到什麼東西的，也肯定學不到更多的東西”，“學東西的最途徑是親自去發現它”，最富有成效的學習是學生自己去探索、去“發現”。只有學習者自己的思維活動起來了，他在學習中才會尋求到歡樂。有了成功的體驗，他對數學知識本身才可能產生內在的興趣。