任意角的三角函式教案

各位同仁,各位專家:

我說課的課題是<<任意角的三角函式>>,內容取自蘇教版高中實驗教科書《數學》第四冊 第1.2節

先對教材進行分析

教學內容：任意角三角函式的定義、定義域，三角函式值的符號.

地位和作用: 任意角的三角函式是本章教學內容的基本概念對三角內容的整體學習至關重要.同時它又為平面向量、解析幾何等內容的學習作必要的準備,通過這部分內容的學習，又可以幫助學生更加深入理解函式這一基本概念。所以這個內容要認真探討教材,精心設計過程.

教學重點：任意角三角函式的定義

教學難點：正確理解三角函式可以看作以實數為自變數的函式、國中用邊長比值來定義轉變為坐標系下用坐標比值定義的觀念的轉換以及坐標定義的合理性的理解;

學情分析:

學生已經掌握的內容,學生學習能力

1.國中學生已經學習了基本的銳角三角函式的定義，掌握了銳角三角函式的一些常見的知識和求法。

2.我們南山區經過多年的國中課改,學生已經具備較強的自學能力，多數同學對數學的學習有相當的興趣和積極性。

3.在探究問題的能力，合作交流的意識等方面發展不夠均衡，尚有待加強必須在老師一定的指導下才能進行

針對對教材內容重難點的和學生實際情況的分析我們制定教學目標如下

知識目標:

(1)任意角三角函式的定義;三角函式的定義域;三角函式值的符號，

能力目標：

(1)理解並掌握任意角的三角函式的定義;

(2)正確理解三角函式是以實數為自變數的函式;

一、 教學目標
1.掌握任意角的正弦、餘弦、正切函式的定義(包括定義域、正負符號判斷);了解任意角的餘切、正割、餘割函式的定義.
2.經歷從銳角三角函式定義過度到任意角三角函式定義的推廣過程,體驗三角函式概念的產生、發展過程. 領悟直角坐標系的工具功能,豐富數形結合的經驗.
3.培養學生通過現象看本質的唯物主義認識論觀點,滲透事物相互聯繫、相互轉化的辯證唯物主義世界觀.
4.培養學生求真務實、實事求是的科學態度.
二、 重點、難點、關鍵
重點:任意角的正弦、餘弦、正切函式的定義、定義域、(正負)符號判斷法.
難點:把三角函式理解為以實數為自變數的函式.
關鍵:如何想到建立直角坐標系;六個比值的確定性( α確定,比值也隨之確定)與依賴性(比值隨著α的變化而變化).
三、 教學理念和方法
教學中注意用新課程理念處理傳統教材,學生的數學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習,而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學,師生互動,教師發揮組織者、引導者、合作者的作用,引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程.
根據本節課內容、高一學生認知特點和我自己的教學風格,本節課採用“啟發探索、講練結合”的方法組織教學.
四、 教學過程
[執教線索:
回想再認:函式的概念、銳角三角函式定義(銳角三角形邊角關係)——問題情境:能推廣到任意角嗎?——它山之石:建立直角坐標系(為何?)——最佳化認知:用直角坐標系研究銳角三角函式——探索發展:對任意角研究六個比值(與角之間的關係:確定性、依賴性,滿足函式定義嗎?)——自主定義:任意角三角函式定義——登高望遠:三角函式的要素分析(對應法則、定義域、值域與正負符號判定)——例題與練習——回顧小結——布置作業]

任意角的三角函式

教學目標 ：

1.通過對國中銳角三角函式定義的回憶，掌握任意角三角函式的定義法，並掌握用單位圓中的有向線段表示三角函式值.

2.掌握已知角 終邊上一點坐標，求四個三角函式值.（即給角求值問題）

教學重點：

任意角的三角函式的定義.

教學難點 ：

任意角的三角函式的定義，正弦、餘弦、正切這三種三角函式的幾何表示.

教學用具：

直尺、圓規、投影儀.

教學步驟 ：

1.設定情境

角的範圍已經推廣，那么對任一角 是否也能像銳角一樣定義其四種三角函式呢？本節課就來討論這一問題.

2.探索研究

（1）複習回憶銳角三角函式

我們已經學習過銳角三角函式，知道它們都是以銳角 為自變數，以比值為函式值，定義了角 的正弦、餘弦、正切、餘切的三角函式，本節課我們研究當角 是一個任意角時，其三角函式的定義及其幾何表示.

（2）任意角的三角函式定義

如圖1，設 是任意角， 的終邊上任意一點 的坐標是 ，當角 在第一、二、三、四象限時的情形，它與原點的距離為 ，則 .

定義：①比值 叫做 的正弦，記作 ，即 .

②比值 叫做 的餘弦，記作 ，即 .

圖1

③比值 叫做 的正切，記作 ，即 .

同時提供顯示任意角的三角函式所在象限的課件

提問：對於確定的角 ，這三個比值的大小和 點在角 的終邊上的位置是否有關呢？

利用三角形相似的知識，可以得出對於角 ，這三個比值的大小與 點在角 的終邊上的位置無關，只與角 的大小有關.

請同學們觀察當 時， 的終邊在 軸上，此時終邊上任一點 的橫坐標 都等於0，所以 無意義，除此之外，對於確定的角 ，上面三個比值都是惟一確定的.把上面定義中三個比的前項、後項交換，那么得到另外三個定義.

已知三角函式值求角 篇1

第三十七教時

教材：（2）

目的：理解反正切函式的有關概念，並能運用上述知識。

過程：

一、反正切函式

1°在整個定義域上無反函式。

2°在 上 的反函式稱作反正切函式，

記作 （奇函式）。

二、例一、（P75例四）

1、 已知 ，2、 求x（精確到 ）。

解：在區間 上 是增函式，符合條件的角是唯一的

3、 已知 且 ，4、 求x的取值集合。

解：

所求的x的集合是 （即 ）

5、 已知 ，6、 求x的取值集合。

解：由上題可知： ，

合併為

三、處理《教學與測試》P127-128  61課

例二、已知 ，根據所給範圍求 ：

1° 為銳角 2° 為某三角形內角  3° 為第二象限角  4°

解：1°由題設

2°設 ，或

3°

4°由題設

例三、求適合下列關係的x的集合。

1°  2°  3°

解：1°

所求集合為

2° 所求集合為

3°

例四、直角 銳角A，B滿足：

解：由已知：

為銳角，

四、小結、反正切函式

五、作業 ：P76-77練習與習題4.11餘下部分及《教學與測試》P128  61課練習

（第一課時）

一.教學目標 

1.理解反正弦、反餘弦、反正切的意義，並會用反三角符號表示角.

2.掌握用反三角表示 中的角.

三角函式教案 篇1

1、銳角三角形中,任意兩個內角的和都屬於區間 ,且滿足不等式:

即:一角的正弦大於另一個角的餘弦。

2、若 ,則 ,

3、 的圖象的對稱中心為 ( ),對稱軸方程為 。

4、 的圖象的對稱中心為 ( ),對稱軸方程為 。

5、 及 的圖象的對稱中心為 ( )。

6、常用三角公式:

有理公式: ;

降次公式: , ;

萬能公式: , , (其中 )。

7、輔助角公式: ,其中 。輔助角 的位置由坐標 決定,即角 的終邊過點 。

8、 時, 。

9、 。

其中 為內切圓半徑, 為外接圓半徑。

特別地:直角 中,設c為斜邊,則內切圓半徑 ,外接圓半徑 。

10、 的圖象 的圖象( 時,向左平移 個單位, 時,向右平移 個單位)。

11、解題時,條件中若有 出現,則可設 ,

則 。

12、等腰三角形 中,若 且 ,則 。

13、若等邊三角形的邊長為 ,則其中線長為 ,面積為 。

14、 ;

二、複習要求

1、 三角函式的概念及象限角、弧度制等概念;

2、三角公式,包括誘導公式,同角三角函式關係式和差倍半公式等;

3、三角函式的圖象及性質。

三、學習指導

1、角的概念的推廣。從運動的角度,在旋轉方向及旋轉圈數上引進負角及大於3600的角。這樣一來,在直角坐標系中,當角的終邊確定時,其大小不一定(通常把角的始邊放在x軸正半軸上,角的頂點與原點重合,下同)。為了把握這些角之間的聯繫,引進終邊相同的角的概念,凡是與終邊α相同的角,都可以表示成k·3600 α的形式,特例,終邊在x軸上的角集合{α|α=k·1800,k∈z},終邊在y軸上的角集合{α|α=k·1800 900,k∈z},終邊在坐標軸上的角的集合{α|α=k·900,k∈z}。

一、教材分析

(一)內容說明

函式是中學數學的重要內容，中學數學對函式的研究大致分成了三個階段。

三角函式是最具代表性的一種基本初等函式。4.8節是第二章《函式》學習的延伸，也是第四章《三角函式》的核心內容,是在前面已經學習過正、餘弦函式的圖象、三角函式的有關概念和公式基礎上進行的，其知識和方法將為後續內容的學習打下基礎，有承上啟下的作用。

本節課是數形結合思想方法的良好素材。數形結合是數學研究中的重要思想方法和解題方法。

著名數學家華羅庚先生的詩句：......數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休......可以說精闢地道出了數形結合的重要性。

本節通過對數形結合的進一步認識，可以改進學習方法，增強學習數學的自信心和興趣。另外，三角函式的曲線性質也體現了數學的對稱之美、和諧之美。

因此，本節課在教材中的知識作用和思想地位是相當重要的。

(二)課時安排

4.8節教材安排為4課時,我計畫用5課時

(三)目標和重、難點

1.教學目標

教學目標的確定，考慮了以下幾點：

(1)高一學生有一定的抽象思維能力，而形象思維在學習中占有不可替代的地位，所以本節要緊緊抓住數形結合方法進行探索;

(2)本班學生對數學科特別是函式內容的學習有畏難情緒，所以在內容上要降低深難度。

(3)學會方法比獲得知識更重要，本節課著眼於新知識的探索過程與方法，鞏固套用主要放在後面的三節課進行。

由此，我確定了以下三個層面的教學目標：

(1)知識層面：結合正弦曲線、餘弦曲線，師生共同探索發現正(余)弦函式的性質，讓學生學會正確表述正、余函式的單調性和對稱性,理解體會周期函式性質的研究過程和數形結合的研究方法;

1、銳角三角形中,任意兩個內角的和都屬於區間 ,且滿足不等式:
即:一角的正弦大於另一個角的餘弦。
2、若 ,則 ,
3、 的圖象的對稱中心為 ( ),對稱軸方程為 。
4、 的圖象的對稱中心為 ( ),對稱軸方程為 。
5、 及 的圖象的對稱中心為 ( )。
6、常用三角公式:
有理公式: ;
降次公式: , ;
萬能公式: , , (其中 )。
7、輔助角公式: ,其中 。輔助角 的位置由坐標 決定,即角 的終邊過點 。
8、 時, 。
9、 。
其中 為內切圓半徑, 為外接圓半徑。
特別地:直角 中,設c為斜邊,則內切圓半徑 ,外接圓半徑 。

【命題趨向】
1.三角函式的性質、圖像及其變換,主要是 的性質、圖像及變換.考查三角函式的概念、奇偶性、周期性、單調性、有界性、圖像的平移和對稱等.以選擇題或填空題或解答題形式出現,屬中低檔題,這些試題對三角函式單一的性質考查較少,一道題所涉及的三角函式性質在兩個或兩個以上,考查的知識點來源於教材.
2.三角變換.主要考查公式的靈活運用、變換能力,一般要運用和角、差角與二倍角公式,尤其是對公式的套用與三角函式性質的綜合考查.以選擇題或填空題或解答題形式出現,屬中檔題.
3.三角函式的套用.以平面向量、解析幾何等為載體,或者用解三角形來考查學生對三角恆等變形及三角函式性質的套用的綜合能力.特別要注意三角函式在實際問題中的套用和跨知識點的套用,注意三角函式在解答有關函式、向量、平面幾何、立體幾何、解析幾何等問題時的工具性作用.這類題一般以解答題的形式出現,屬中檔題.
4.在一套高考試題中,三角函式一般分別有1個選擇題、1個填空題和1個解答題,或選擇題與填空題1個,解答題1個,分值在17分-22分之間.
5.在高考試題中,三角題多以低檔或中檔題目為主,一般不會出現較難題,更不會出現難題,因而三角題是高考中的得分點.
【考點透視】
1.理解任意角的概念、弧度的意義,能正確地進行弧度與角度的換算.
2.掌握任意角的正弦、餘弦、正切的定義,了解餘切、正割、餘割的定義,掌握同解三角函式的基本關係式,掌握正弦、餘弦的誘導公式,理解周期函式與最小正周期的意義.

二、複習要求
1、 三角函式的概念及象限角、弧度制等概念;
2、三角公式,包括誘導公式,同角三角函式關係式和差倍半公式等;
3、三角函式的圖象及性質。
三、學習指導
1、角的概念的推廣。從運動的角度,在旋轉方向及旋轉圈數上引進負角及大於3600的角。這樣一來,在直角坐標系中,當角的終邊確定時,其大小不一定(通常把角的始邊放在x軸正半軸上,角的頂點與原點重合,下同)。為了把握這些角之間的聯繫,引進終邊相同的角的概念,凡是與終邊α相同的角,都可以表示成k·3600 α的形式,特例,終邊在x軸上的角集合{α|α=k·1800,k∈z},終邊在y軸上的角集合{α|α=k·1800 900,k∈z},終邊在坐標軸上的角的集合{α|α=k·900,k∈z}。
在已知三角函式值的大小求角的大小時,通常先確定角的終邊位置,然後再確定大小。
弧度制是角的度量的重要表示法,能正確地進行弧度與角度的換算,熟記特殊角的弧度制。在弧度制下,扇形弧長公式l=|α|r,扇形面積公式 ,其中α為弧所對圓心角的弧度數。
2、利用直角坐標系,可以把直角三角形中的三角函式推廣到任意角的三角數。三角函式定義是本章重點,從它可以推出一些三角公式。重視用數學定義解題。
設p(x,y)是角α終邊上任一點(與原點不重合),記 ,則 , , , 。
利用三角函式定義,可以得到(1)誘導公式:即 與α之間函式值關係(k∈z),其規律是"奇變偶不變,符號看象限";(2)同角三角函式關係式:平方關係,倒數關係,商數關係。
3、三角變換公式包括和、差、倍、半公式,誘導公式是和差公式的特例,對公式要熟練地正用、逆用、變用。如倍角公式:cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α,變形後得 ,可以作為降冪公式使用。

教學目標： 1、能正確分析收集到的數據，選擇恰當的函式模型刻畫數據所蘊含的規律，能根據問題的實際意義，利用模型解釋有關實際問題，為決策提供依據。  2、鞏固三角函式的有關知識，會初步利用圖象解三角不等式，鞏固二分法求相應方程近似解。3、培養學生數學套用意識；提高學生利用信息技術處理一些實際計算的能力。教學重點： 用三角函式模型刻畫潮汐變化規律，用函式思想解決具有周期變化的實際問題教學難點：對問題實際意義的數學解釋，從實際問題中抽象出三角函式模型。教學媒體： 幾何畫板教學流程：給出出港口水深數據，提出問題根據散點圖形特徵，選擇適當的函式擬合
求解函式模型利用函式模型解決實際問題
反思解題過程，總結解題方法，提煉數學思想 教學過程： 1.情景展示，新課導入 2.問題提出，探究解決 【師】若干年後，如果在座的各位有機會當上船長的話，當你的船隻要到某個港口去，你作為船長，你希望知道關於那個港口的一些什麼情況？ 【生】水深情況。 【師】是的，我們要到一個陌生的港口時，是非常想得到有關那個港口的水深與時間的對應關係。請同學們看下面這個問題。 問題探究1：如圖所示，下面是錢塘江某個碼頭在今年春季每天的時間與水深的關係表：時間

0.00

3.00

6.00

9.00

12.00

15.00

18.00

21.00

24.00水深

5.0

7.5

5.0

2.5

5.0

7.5

5.0

2.5

5.0請同學們仔細觀察表格中的數據，你能夠從中得到一些什麼信息？小組合作發現，代表發言。可能結果：1）水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米。 2）水的深度開始由5.0米增加到7.5米，後逐漸減少一直減少到2.5，又開始逐漸變深，增加到7.5米後，又開始減少。 3）水深變化並不是雜亂無章，而是呈現一種周期性變化規律。4） 學生活動：作圖——更加直觀明了這種周期性變化規律。（研究數據的兩種形式）   5）教師呈現作圖結果，學生小組代表發言，跟我們前面所學過哪個函式類型非常的類似？追問為什麼類似正弦型函式 （排除法，關鍵在於周期性）。 （學生活動，求解解析式）   　得到的是一個刻畫水深與時間關係的三角函式模型，為了保證所選函式的精確性，通常還需要一個檢驗過程，教師點明：建模過程——選模，求模，驗模，套用。有了這個模型，我們大致可以知道哪些情況？學生小組合作討論回答，如周期、單調性、每時每刻的水深。　學生計算幾個值，最後教師呈現水深關於整點時間的數值表