二次函式教案

《1.1二次函式》教案 篇1

教學目標：

1、經歷描點法畫函式圖像的過程；

2、學會觀察、歸納、概括函式圖像的特徵；

3、掌握 型二次函式圖像的特徵；

4、經歷從特殊到一般的認識過程，學會合情推理。

教學重點：

型二次函式圖像的描繪和圖像特徵的歸納

教學難點：

選擇適當的自變數的值和相應的函式值來畫函式圖像，該過程較為複雜。

教學設計：

一、回顧知識

前面我們在學習正比例函式、一次函式和反比例函式時時如何進一步研究這些函式的？ 先（用描點法畫出函式的圖像，再結合圖像研究性質。）

引入：我們仿照前面研究函式的方法來研究二次函式，先從最特殊的形式即 入手。因此本節課要討論二次函式 （ ）的圖像。

板書課題：二次函式 （ ）圖像

二、探索圖像

1、 用描點法畫出二次函式 和 圖像

（1） 列表

引導學生觀察上表，思考一下問題：

①無論x取何值，對於 來說，y的值有什麼特徵？對於 來說，又有什麼特徵？

②當x取 等互為相反數時，對應的y的值有什麼特徵？

（2） 描點（邊描點，邊總結點的位置特徵，與上表中觀察的結果聯繫起來）.

（3） 連線，用平滑曲線按照x由小到大的順序連線起來，從而分別得到 和 的圖像。

2、 練習：在同一直角坐標系中畫出二次函式 和 的圖像。

學生畫圖像，教師巡視並輔導學困生。（利用實物投影儀進行講評）

3、二次函式 （ ）的圖像

由上面的四個函式圖像概括出：

（1） 二次函式的 圖像形如物體拋射時所經過的路線，我們把它叫做拋物線，

《二次函式》教案 篇1

本節課在二次函式y=ax2和y=ax2+c的圖象的基礎上，進一步研究y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖象，並探索它們之間的關係和各自的性質.旨在全面掌握所有二次函式的圖象和性質的變化情況.同時對二次函式的研究，經歷了從簡單到複雜，從特殊到一般的過程：先是從y=x2開始，然後是y=ax2，y=ax2+c，最後是y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c.符合學生的認知特點，體會建立二次函式對稱軸和頂點坐標公式的必要性.

在教學中，主要是讓學生自己動手畫圖象，通過自己的觀察、交流、對比、概括和反思[

等探索活動，使學生達到對拋物線自身特點的認識和對二次函式性質的理解.並能利用它的性質解決問題.

2.4二次函式y=ax2+bx+c的圖象(一)

教學目標

(一)教學知識點[

1.能夠作出函式y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖象，並能理解它與y=ax2的圖象的關係.理解a，h，k對二次函式圖象的影響.

2.能夠正確說出y=a(x-h)2+k圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

(二)能力訓練要求

1.通過學生自己的探索活動，對二次函式性質的研究，達到對拋物線自身特點的認識和對二次函式性質的理解.

2.經歷探索二次函式的圖象的作法和性質的過程，培養學生的探索能力.

(三)情感與價值觀要求

1.經歷觀察、猜想、總結等數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點.

2.讓學生學會與人合作，並能與他人交流思維的過程和結果.

教學重點

1.經歷探索二次函式y=ax2+bx+c的圖象的作法和性質的過程.

數學《二次函式》優秀教案 篇1

教學目標

（一）教學知識點

1、能夠利用二次函式的圖象求一元二次方程的近似根、

2、進一步發展估算能力、

（二）能力訓練要求

1、經歷用圖象法求一元二次方程的近似根的過程，獲得用圖象法求方程近似根的體驗、

2、利用圖象法求一元二次方程的.近似根，重要的是讓學生懂得這種求解方程的思路，體驗數形結合思想、

（三）情感與價值觀要求

通過利用二次函式的圖象估計一元二次方程的根，進一步掌握二次函式圖象與x軸的交點坐標和一元二次方程的根的關係，提高估算能力、

教學重點

1、經歷探索二次函式與一元二次方程的關係的過程，體會方程與函式之間的聯繫、

2、能夠利用二次函式的圖象求一元二次方程的近似根、

教學難點

利用二次函式的圖象求一元二次方程的近似根、

教學方法

學生合作交流學習法、

教具準備

投影片三張

第一張：（記作§2、8、2A）

第二張：（記作§2、8、2B）

第三張：（記作§2、8、2C）

教學過程

Ⅰ、創設問題情境，引入新課

[師]上節課我們學習了二次函式y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的交點坐標和一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的關係，懂得了二次函式圖象與x軸交點的橫坐標，就是y=0時的一元二次方程的根，於是，我們在不解方程的情況下，只要知道二次函式與x軸交點的橫坐標即可、但是在圖象上我們很難準確地求出方程的解，所以要進行估算、本節課我們將學習利用二次函式的圖象估計一元二次方程的根、

國中二次函式教學設計 篇1

一、說課內容：

九年級數學下冊第27章第一節的二次函式的概念及相關習題 (華東師範大學出版社)

二、教材分析：

1、教材的地位和作用

這節課是在學生已經學習了一次函式、正比例函式、反比例函式的基礎上，來學習二次函式的概念。二次函式是國中階段研究的最後一個具體的函式，也是最重要的，在歷年來的中考題中占有較大比例。同時，二次函式和以前學過的一元二次方程、一元二次不等式有著密切的聯繫。進一步學習二次函式將為它們的解法提供新的方法和途徑，並使學生更為深刻的理解數形結合的重要思想。而本節課的二次函式的概念是學習二次函式的基礎，是為後來學習二次函式的圖象做鋪墊。所以這節課在整個教材中具有承上啟下的重要作用。

2、教學目標和要求：

(1)知識與技能：使學生理解二次函式的概念，掌握根據實際問題列出二次函式關係式的方法，並了解如何根據實際問題確定自變數的取值範圍。

(2)過程與方法：複習舊知，通過實際問題的.引入，經歷二次函式概念的探索過程，提高學生解決問題的能力.

(3)情感、態度與價值觀：通過觀察、操作、交流歸納等數學活動加深對二次函式概念的理解，發展學生的數學思維，增強學好數學的願望與信心.

3、教學重點：對二次函式概念的理解。

4、教學難點：抽象出實際問題中的二次函式關係。

三、教法學法設計：

1、從創設情境入手，通過知識再現，孕伏教學過程

2、從學生活動出發，通過以舊引新，順勢教學過程

九年級上冊《二次函式套用》導學案 篇1

《二次函式套用》導學案

學習目標

1.  掌握實際問題中變數之間的二次函式關係，並運用二次函式的知識解決實際問題

2.  將實際問題轉化為數學問題，並運用二次函式的知識解決實際問題。

學習重點和難點

運用二次函式的知識解決實際問題

課前準備：

學習過程：

一、自主嘗試

1.圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在l時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2m，水面寬4m.如圖建立平面直角坐標系，則拋物線的關係式是（）

a.  b. c. d.

2.九年級的一場籃球比賽中，如圖隊員甲正在投籃，已知球出手時離地面高 m，當球出手後水平距離為4m時到達最大高度4m，設籃球運行的線路為拋物線，建立如圖的平面直角坐標系，設籃球出手後離地的水平距離為xm，高度為ym，求y關於x的函式解析式。

二、互動探究

例1  如圖，某噴灌設備的噴頭b高出地面1.2m，如果噴出的拋物線形水流的水平距離x(m)與高度y(m)之間的關係為二次函式y=a(x-4)2+2.

求：（1）二次函式的解析式

（2）水流落地點d與噴頭底部a的距離（精確到0.1）

例2：某校初三年級的一場籃球比賽中，如圖隊員甲正在投籃，已知球出手時離地面高m，與籃圈中心的水平距離為7m，當球出手後水平距離為4m時到達最大高度4m，設籃球運行的軌跡為拋物線，籃圈距地面3m.

（1）建立如圖的平面直角坐標系，問此球能否準確投中？

（2）此時，若對方隊員乙在甲前面1m處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為3.1m，那么他能否獲得成功？

初二二次函式教案 篇1

教學目標

1、經歷用三種方式表示變數之間二次函式關係的過程，體會三種方式之間的聯繫與各自不同的特點

2、能夠分析和表示變數之間的二次函式關係，並解決用二次函式所表示的問題

3、能夠根據二次函式的不同表示方式，從不同的側面對函式性質進行研究

教學重點和難點

重點：用三種方式表示變數之間二次函式關係

難點：根據二次函式的不同表示方式，從不同的側面對函式性質進行研究

教學過程設計

一、從學生原有的認知結構提出問題

這節課，我們來學習二次函式的三種表達方式。

二、師生共同研究形成概念

1、用函式表達式表示

☆做一做書本P56矩形的周長與邊長、面積的關係

鼓勵學生間的互相交流，一定要讓學生理解周長與邊長、面積的關係。

比較全面、完整、簡單地表示出變數之間的關係

2、用表格表示

☆做一做書本P56填表

由於運算量比較大，學生的運算能力又一般，因此，建議把這個表格的一部分數據先給出來，讓學生完成未完成的部分空格。

表格表示可以清楚、直接地表示出變數之間的數值對應關係

3、用圖象表示

☆議一議書本P56議一議

關於自變數的問題，學生往往比較難理解，講解時，可適當多花時間講解。

可以直觀地表示出函式的變化過程和變化趨勢

☆做一做書本P57

4、三種方法對比

☆議一議書本P58議一議

函式的表格表示可以清楚、直接地表示出變數之間的數值對應關係；函式的圖象表示可以直觀地表示出函式的變化過程和變化趨勢；函式的表達式可以比較全面、完整、簡單地表示出變數之間的關係。這三種表示方式積壓自有各自的優點，它們服務於不同的需要。

二次函式y=ax2的圖象 篇1

教學設計示例1

課題：二次函式 的圖象

教學目標：

1、會用描點法畫出二次函式 的圖象；

2、根據圖象觀察、分析出二次函式 的性質；

3、進一步理解二次函式和拋物線的有關知識

4、滲透由特殊到一般的辯證唯物主義觀點；

5、滲透數形結合的數學思想方法，培養觀察能力和分析問題的能力；

6、培養學生勇於探索創創新及實事求是的科學精神.

教學重點：根據圖象，觀察、分析出二次函式的性質

教學難點：滲透數形結合的數學思想方法

教學用具：直尺、微機

教學方法：談話、探究式

教學過程：

1、列表、描點畫出函式 與 的圖象，引入新課

例：畫出函式 與 的圖象

解：列兩個表

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

8

4.5

2

0.5

0

0.5

2

4.5

8

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

8

4.5

2

0.5

0

0.5

2

4.5

8

分別描點畫圖

2、根據圖象發現問題，由學生探索出新知識.

提問：你能從圖象中發現拋物線是哪些性質？這兩個函式圖象有何異同？

（1）這兩個函式的圖象都關於y軸對稱.這一點可以從剛才的列表中可以看出， 時所對應的y值分別相等，如 等.這樣的兩個點關於y軸對稱.由這些點構成的拋物線也關於y軸對稱.從解析式中也可以得出這個結論：互為相反數的兩個數的平方數相等，因此，這兩個函式的圖象都是關於y軸對稱的.

（2）從圖中可以看出，x可取x軸上的任意一點，而y對應的是大於、等於零的數.即拋物線有最低點（0，0）.這一點可以從解析式中得到很好的解釋， 可取

任意實數. 圖象開口向上.這也說明數與形是數學中的兩條線索，它們是互相對應的，反映了數形結合的思想.

（3）從圖中也可以看出拋物線不同於我們以前學過的正比例函式和一次函式，這兩個函式的圖象都是直線，而拋物線是曲線，有一個拐彎，函式的圖象都在最低點拐了一個彎.這樣它們的性質幾發生了變化.在y軸的左側，從左向右呈下坡趨勢，即y隨x的增大而減小；在y軸的右側，從左向右，呈上坡趨勢，即y隨x的增大而增大.這一變化趨勢也可以從列表中看出.

（4）這兩個圖象除以上相同之處外，還有不同的地方.如： 離y軸近， 離y軸遠.從列表中可以看出：如 過點（2，2），而 過點（2，8）也就是說，當x=2時， 的圖象所對應的點高於 所對應的點.因此會有上述的結論.

3、畫出函式 的圖象

與 中的a都是正數，當a<0時， 的圖象會是什麼樣子呢？

我們看例2

例2、畫出函式 的圖象

解：列表：

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-9

-4

-1

0

-1

-4

-9

描點畫圖：

4、從函式圖象入手，再次總結二次函式的性質

(1)與剛才兩個圖象不同的是， 的圖象開口向下.這是因為x是任意實數， ， 即 ，因此，開口會向下.圖象有最高點（0，0）

(2)此圖象仍然是關於y軸對稱的

(3)在y軸的左側，y隨x的增大而增大；在y軸的右側，y隨x的增大而減小

5、得出一般的規律

一般地，拋物線 的對稱軸是y軸，頂點是原點，當a>0時，拋物線 的開口向上，當a<0時，拋物線 的開口向下，a的絕對值越大，圖象越靠近y軸.

6、小結：這一節課，從始至中都是結合圖象觀察、歸納總結出二次函式 的性質，體現了數與形的結合.函式圖象是解決函式問題的有利工具，希望大家能自覺地套用.

7、作業 ：習題13.6A組1、2B組1、2

第 1 2 頁  

教學設計示例1

課題：二次函式 的圖象

教學目標 ：

1、會用描點法畫出二次函式 的圖象；

2、根據圖象觀察、分析出二次函式 的性質；

3、進一步理解二次函式和拋物線的有關知識

4、滲透由特殊到一般的辯證唯物主義觀點；

5、滲透數形結合的數學思想方法，培養觀察能力和分析問題的能力；

6、培養學生勇於探索創創新及實事求是的科學精神.

教學重點：根據圖象，觀察、分析出二次函式的性質

教學難點 ：滲透數形結合的數學思想方法

教學用具：直尺、微機

教學方法：談話、探究式

教學過程 ：

1、列表、描點畫出函式 與 的圖象，引入新課

例：畫出函式 與 的圖象

解：列兩個表

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

8

4.5

2

0.5

0

0.5

2

4.5

8

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

8

4.5

2

0.5

0

0.5

2

4.5

8

分別描點畫圖

2、根據圖象發現問題，由學生探索出新知識.

提問：你能從圖象中發現拋物線是哪些性質？這兩個函式圖象有何異同？

（1）這兩個函式的圖象都關於y軸對稱.這一點可以從剛才的列表中可以看出， 時所對應的y值分別相等，如 等.這樣的兩個點關於y軸對稱.由這些點構成的拋物線也關於y軸對稱.從解析式中也可以得出這個結論：互為相反數的兩個數的平方數相等，因此，這兩個函式的圖象都是關於y軸對稱的.

（2）從圖中可以看出，x可取x軸上的任意一點，而y對應的是大於、等於零的數.即拋物線有最低點（0，0）.這一點可以從解析式中得到很好的解釋， 可取

任意實數. 圖象開口向上.這也說明數與形是數學中的兩條線索，它們是互相對應的，反映了數形結合的思想.

（3）從圖中也可以看出拋物線不同於我們以前學過的正比例函式和一次函式，這兩個函式的圖象都是直線，而拋物線是曲線，有一個拐彎，函式的圖象都在最低點拐了一個彎.這樣它們的性質幾發生了變化.在y軸的左側，從左向右呈下坡趨勢，即y隨x的增大而減小；在y軸的右側，從左向右，呈上坡趨勢，即y隨x的增大而增大.這一變化趨勢也可以從列表中看出.

（4）這兩個圖象除以上相同之處外，還有不同的地方.如： 離y軸近， 離y軸遠.從列表中可以看出：如 過點（2，2），而 過點（2，8）也就是說，當x=2時， 的圖象所對應的點高於 所對應的點.因此會有上述的結論.

3、畫出函式 的圖象

與 中的a都是正數，當a<0時， 的圖象會是什麼樣子呢？

我們看例2

例2、畫出函式 的圖象

解：列表：

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-9

-4

-1

0

-1

-4

-9

描點畫圖：

4、從函式圖象入手，再次總結二次函式的性質

(1)與剛才兩個圖象不同的是， 的圖象開口向下.這是因為x是任意實數， ， 即 ，因此，開口會向下.圖象有最高點（0，0）

(2)此圖象仍然是關於y軸對稱的

(3)在y軸的左側，y隨x的增大而增大；在y軸的右側，y隨x的增大而減小

5、得出一般的規律

一般地，拋物線 的對稱軸是y軸，頂點是原點，當a>0時，拋物線 的開口向上，當a<0時，拋物線 的開口向下，a的絕對值越大，圖象越靠近y軸.

6、小結：這一節課，從始至中都是結合圖象觀察、歸納總結出二次函式 的性質，體現了數與形的結合.函式圖象是解決函式問題的有利工具，希望大家能自覺地套用.

7、作業 ：習題13.6A組1、2B組1、2

教學設計示例2

課題：二次函式 的圖象

第一課時

一、素質教育目標

（一）知識教學點

1.使學生知道二次函式的意義；

2.使學生會用描點法畫出二次函式 的圖像，並結合 的圖像，初步理解拋物線及其有關概念。

（二）能力訓練點

1.進一步培養學生用描點法畫函式圖像的能力；

2.向學生進行數形結合的數學思想方法的教育。

（三）德育滲透點

通過對幾個特殊的二次函式的講解，向學生進行一般與特殊的辯證唯物主義教育。

（四）美育滲透點

通過本節課的教學，滲透二次函式圖像的對稱美，曲線的平滑美。

二、學法引導

教師採用引導發現法，觀察法，講解法

本節的主要內容是理解二次函式的定義，知道二次函式解析式 中字母的意思，在畫 的圖像時，要知道圖形是拋物線，是軸對稱圖形、列表時，自變數x的值的選取，應以0為中心，對稱地選取兩對（或三對）互為相反數，最好x取整數值。

三、重點·難點·疑點及解決辦法

1.教學重點：二次函式的意義及二次函式 的圖像的畫法。因為它們是研究二次函式的重要基礎。

2.教學難點 ：正確畫出二次函式 的圖像。因為它的圖像是一條曲線，畫起來較複雜，而且學生在畫圖之前，尚不清楚二次函式 的圖像的具體形狀和變化趨勢，所以不易把握。

3.教學疑點：（1） ；（2） 的圖像的反性質。

4.解決辦法：（1）關於二次函式的定義，關鍵要注意：自變數的最高次數定義，二次項係數 ；（2） 的圖像和性質，不可死記硬背，要結合圖像理解和掌握二次函式 的幾個主要特徵，如開口方向，頂點坐標（或位置），對稱軸，最大值最小值等。

四、教學步驟 

（一）教學過程 

首先，我們來看兩個實驗問題：（出示幻燈）

1.圓的半徑是R，它的面積為S，你能否寫出S與R之間的函式關係式？

這個問題由學生舉手回答，可找層次較低的學生完成，培養他們的參與意識和自信心。然後把答案寫在黑板上留用。

2.已知一個矩形場地的周長是60，一邊長為l，請你寫出這個矩形場地的面積S與這條邊長之間的函式關係式。

這個問題其實就是13.2中的例1，可由學生得出結論，若學生給出的是 ，再繼續提問：你能否把函式關係式中的括弧去掉？然後把所得的結論寫在黑板上。

提問：比較 與 這兩個函式，都是用自變數的幾次式來表示的？

用這個問題，引出二次函式，在學生回答之後，教師加以總結，板書：

一般地，如果 （a、b、c是常數， ），那么，y叫做x的二次函式。

提問：1.上述概念中的a為什麼不能是0？

2.對於二次函式 中的b和c可否為0？若b和c其一為0或均為0，上述函式的式子可以改寫成怎樣？你認為它們還是不是二次函式？

3.由問題1和2，你能否總結：一個函式是否是二次函式，關鍵看什麼？

由這三個問題加深學生對二次函式意義的理解，也同時給出了二次函式的三個特例： ； ； ，使學生深刻理解：看一個函式是否是二次函式的關鍵是看二次項的係數是否為0.

4.二次函式的解析式，與我們所學過的什麼知識相類似？

通過這個問題，使學生能把二次函式與一元二次方程初步搭上聯繫即可，為以後的教學

做好鋪墊.

練習一：P108中1、2  口答，注意第1題要讓學生說明不是二次函式的原因

提問：根據我們所學知道，一次函式的圖像是條直線，那么二次函式的圖像又是什麼樣的呢？

這個問題主要是為了引起學生的興趣，不必回答，教師也不用給出答案.

我們研究任何問題都最好由最簡單的入手，根據剛才對二次函式的介紹，你認為最簡單的二次函式是什麼？

這個問題一方面可以使學生自然過渡到要先研究 .另一方面也使同學認識到研

究問題要由簡到繁的基本方法.

所以第三個問題是，由我們學習的畫函式的圖像方法與步驟，我們應怎樣畫二次函式 的圖像呢？

可由學生先回答畫函式圖像的三個步驟：（1）列表；（2）描點；（3）連線.然後分步驟來研究這個圖像的方法.

（1）列表：①自變數x的取值範圍是什麼？

②要畫這個圖，你認為x取整數還是取其他數較好？

③看 ，它是一個數的平方形式，它的結論與x的值有什麼關係？

學生可能有多種答法，引導學生回答：當x取互為相反數時， 的值相同.

④若選7個點畫圖，你準備怎樣選？

通過這4個問題可以使學生很順利地想到為什麼要先取書上給出的這7個點，而且也使

學生初步學會畫二次函式圖像時選點的技巧.

（2）描點：①在畫坐標系時x軸的正、負半鈾和y軸的正、負半軸是否都要畫一樣的長？

②怎樣畫就可以了呢？

答：x軸的正、負半軸畫的一樣長，y的正半軸畫的較長，負半軸畫的較短就可以.

通過這兩個問題可培養學生的作圖技巧.

（2）連線：①觀察這7個點的位置，它們是否在一條直線上？

②我們應怎樣連線這7個點？

讓學生先連一次試試，然後教師演示。關於原點附近的變化趨勢，最好能用動畫演示，增強學生的直觀認識，或看書也可以.

注意：我們所畫的只是近似圖像.

接下來，讓學生觀察這個函式圖像提問：

1.函式 的圖像有什麼特點？

答：是軸對稱圖形.

2.你是怎樣判斷函式 的圖像有上述特徵的？

這個問題，按不同的層次，有三種得出方法：（1）觀察圖；（2）看列表；（3）直接根據解析式，看學生層次定講解的深度.

學生回答完上面的問題之後就可指出：函式 的圖像是一條關於y軸對稱的曲線，這條曲線叫做拋物線。實際上，二次函式的圖像都是拋物線（板書）

在此處，可大致解釋一下拋物線是由物理中的問題而來的，不要深講。

再結合圖像指出：拋物線 是開口向上的，y軸是它的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點，即（0，0）點。

關於拋物線的頂點，可按不同層次的學生進行不同層次的解釋：

從圖像上直觀得到：拋物線 的頂點是圖像的最低點：從解析式上看，當 時， 取得最小值0，（0，0）就是拋物線 的頂點坐標。

（二）總結、擴展

教師提問，學生思考回答：

1.你能否說清二次函式的意義？

注意總結：（1）函式解析式關於自變數是整式；（2）自變數的最高次數是2。

2.二次函式 的圖像是什麼形狀的？它的開口方向，對稱軸，頂點坐標各是什麼？

五、布置作業 

教材P114  1、2、3

六、板書設計 

教學設計示例1

課題：二次函式 的圖象

教學目標：

1、會用描點法畫出二次函式 的圖象；

2、根據圖象觀察、分析出二次函式 的性質；

3、進一步理解二次函式和拋物線的有關知識

4、滲透由特殊到一般的辯證唯物主義觀點；

5、滲透數形結合的數學思想方法，培養觀察能力和分析問題的能力；

6、培養學生勇於探索創創新及實事求是的科學精神.

教學重點：根據圖象，觀察、分析出二次函式的性質

教學難點：滲透數形結合的數學思想方法

教學用具：直尺、微機

教學方法：談話、探究式

教學過程：

1、列表、描點畫出函式 與 的圖象，引入新課

例：畫出函式 與 的圖象

解：列兩個表

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

8

4.5

2

0.5

0

0.5

2

4.5

8

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

8

4.5

2

0.5

0

0.5

2

4.5

8

分別描點畫圖

2、根據圖象發現問題，由學生探索出新知識.

提問：你能從圖象中發現拋物線是哪些性質？這兩個函式圖象有何異同？

（1）這兩個函式的圖象都關於y軸對稱.這一點可以從剛才的列表中可以看出， 時所對應的y值分別相等，如 等.這樣的兩個點關於y軸對稱.由這些點構成的拋物線也關於y軸對稱.從解析式中也可以得出這個結論：互為相反數的兩個數的平方數相等，因此，這兩個函式的圖象都是關於y軸對稱的.

（2）從圖中可以看出，x可取x軸上的任意一點，而y對應的是大於、等於零的數.即拋物線有最低點（0，0）.這一點可以從解析式中得到很好的解釋， 可取

任意實數. 圖象開口向上.這也說明數與形是數學中的兩條線索，它們是互相對應的，反映了數形結合的思想.

（3）從圖中也可以看出拋物線不同於我們以前學過的正比例函式和一次函式，這兩個函式的圖象都是直線，而拋物線是曲線，有一個拐彎，函式的圖象都在最低點拐了一個彎.這樣它們的性質幾發生了變化.在y軸的左側，從左向右呈下坡趨勢，即y隨x的增大而減小；在y軸的右側，從左向右，呈上坡趨勢，即y隨x的增大而增大.這一變化趨勢也可以從列表中看出.

（4）這兩個圖象除以上相同之處外，還有不同的地方.如： 離y軸近， 離y軸遠.從列表中可以看出：如 過點（2，2），而 過點（2，8）也就是說，當x=2時， 的圖象所對應的點高於 所對應的點.因此會有上述的結論.

3、畫出函式 的圖象

與 中的a都是正數，當a<0時， 的圖象會是什麼樣子呢？

我們看例2

例2、畫出函式 的圖象

解：列表：

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-9

-4

-1

0

-1

-4

-9

描點畫圖：

4、從函式圖象入手，再次總結二次函式的性質

(1)與剛才兩個圖象不同的是， 的圖象開口向下.這是因為x是任意實數， ， 即 ，因此，開口會向下.圖象有最高點（0，0）

(2)此圖象仍然是關於y軸對稱的

(3)在y軸的左側，y隨x的增大而增大；在y軸的右側，y隨x的增大而減小

5、得出一般的規律

一般地，拋物線 的對稱軸是y軸，頂點是原點，當a>0時，拋物線 的開口向上，當a<0時，拋物線 的開口向下，a的絕對值越大，圖象越靠近y軸.

6、小結：這一節課，從始至中都是結合圖象觀察、歸納總結出二次函式 的性質，體現了數與形的結合.函式圖象是解決函式問題的有利工具，希望大家能自覺地套用.

7、作業 ：習題13.6A組1、2B組1、2

教學設計示例2

課題：二次函式 的圖象

第一課時

一、素質教育目標

（一）知識教學點

1.使學生知道二次函式的意義；

2.使學生會用描點法畫出二次函式 的圖像，並結合 的圖像，初步理解拋物線及其有關概念。

（二）能力訓練點

1.進一步培養學生用描點法畫函式圖像的能力；

2.向學生進行數形結合的數學思想方法的教育。

（三）德育滲透點

通過對幾個特殊的二次函式的講解，向學生進行一般與特殊的辯證唯物主義教育。

（四）美育滲透點

通過本節課的教學，滲透二次函式圖像的對稱美，曲線的平滑美。

二、學法引導

教師採用引導發現法，觀察法，講解法

本節的主要內容是理解二次函式的定義，知道二次函式解析式 中字母的意思，在畫 的圖像時，要知道圖形是拋物線，是軸對稱圖形、列表時，自變數x的值的選取，應以0為中心，對稱地選取兩對（或三對）互為相反數，最好x取整數值。

三、重點·難點·疑點及解決辦法

1.教學重點：二次函式的意義及二次函式 的圖像的畫法。因為它們是研究二次函式的重要基礎。

2.教學難點：正確畫出二次函式 的圖像。因為它的圖像是一條曲線，畫起來較複雜，而且學生在畫圖之前，尚不清楚二次函式 的圖像的具體形狀和變化趨勢，所以不易把握。

3.教學疑點：（1） ；（2） 的圖像的反性質。

4.解決辦法：（1）關於二次函式的定義，關鍵要注意：自變數的最高次數定義，二次項係數 ；（2） 的圖像和性質，不可死記硬背，要結合圖像理解和掌握二次函式 的幾個主要特徵，如開口方向，頂點坐標（或位置），對稱軸，最大值最小值等。

四、教學步驟

（一）教學過程

首先，我們來看兩個實驗問題：（出示幻燈）

1.圓的半徑是R，它的面積為S，你能否寫出S與R之間的函式關係式？

這個問題由學生舉手回答，可找層次較低的學生完成，培養他們的參與意識和自信心。然後把答案寫在黑板上留用。

2.已知一個矩形場地的周長是60，一邊長為l，請你寫出這個矩形場地的面積S與這條邊長之間的函式關係式。

這個問題其實就是13.2中的例1，可由學生得出結論，若學生給出的是 ，再繼續提問：你能否把函式關係式中的括弧去掉？然後把所得的結論寫在黑板上。

提問：比較 與 這兩個函式，都是用自變數的幾次式來表示的？

用這個問題，引出二次函式，在學生回答之後，教師加以總結，板書：

一般地，如果 （a、b、c是常數， ），那么，y叫做x的二次函式。

提問：1.上述概念中的a為什麼不能是0？

2.對於二次函式 中的b和c可否為0？若b和c其一為0或均為0，上述函式的式子可以改寫成怎樣？你認為它們還是不是二次函式？

3.由問題1和2，你能否總結：一個函式是否是二次函式，關鍵看什麼？

由這三個問題加深學生對二次函式意義的理解，也同時給出了二次函式的三個特例： ； ； ，使學生深刻理解：看一個函式是否是二次函式的關鍵是看二次項的係數是否為0.

4.二次函式的解析式，與我們所學過的什麼知識相類似？

通過這個問題，使學生能把二次函式與一元二次方程初步搭上聯繫即可，為以後的教學

做好鋪墊.

練習一：P108中1、2  口答，注意第1題要讓學生說明不是二次函式的原因

提問：根據我們所學知道，一次函式的圖像是條直線，那么二次函式的圖像又是什麼樣的呢？

這個問題主要是為了引起學生的興趣，不必回答，教師也不用給出答案.

我們研究任何問題都最好由最簡單的入手，根據剛才對二次函式的介紹，你認為最簡單的二次函式是什麼？

這個問題一方面可以使學生自然過渡到要先研究 .另一方面也使同學認識到研

究問題要由簡到繁的基本方法.

所以第三個問題是，由我們學習的畫函式的圖像方法與步驟，我們應怎樣畫二次函式 的圖像呢？

可由學生先回答畫函式圖像的三個步驟：（1）列表；（2）描點；（3）連線.然後分步驟來研究這個圖像的方法.

（1）列表：①自變數x的取值範圍是什麼？

②要畫這個圖，你認為x取整數還是取其他數較好？

③看 ，它是一個數的平方形式，它的結論與x的值有什麼關係？

學生可能有多種答法，引導學生回答：當x取互為相反數時， 的值相同.

④若選7個點畫圖，你準備怎樣選？

通過這4個問題可以使學生很順利地想到為什麼要先取書上給出的這7個點，而且也使

學生初步學會畫二次函式圖像時選點的技巧.

（2）描點：①在畫坐標系時x軸的正、負半鈾和y軸的正、負半軸是否都要畫一樣的長？

②怎樣畫就可以了呢？

答：x軸的正、負半軸畫的一樣長，y的正半軸畫的較長，負半軸畫的較短就可以.

通過這兩個問題可培養學生的作圖技巧.

（2）連線：①觀察這7個點的位置，它們是否在一條直線上？

②我們應怎樣連線這7個點？

讓學生先連一次試試，然後教師演示。關於原點附近的變化趨勢，最好能用動畫演示，增強學生的直觀認識，或看書也可以.

注意：我們所畫的只是近似圖像.

接下來，讓學生觀察這個函式圖像提問：

1.函式 的圖像有什麼特點？

答：是軸對稱圖形.

2.你是怎樣判斷函式 的圖像有上述特徵的？

這個問題，按不同的層次，有三種得出方法：（1）觀察圖；（2）看列表；（3）直接根據解析式，看學生層次定講解的深度.

學生回答完上面的問題之後就可指出：函式 的圖像是一條關於y軸對稱的曲線，這條曲線叫做拋物線。實際上，二次函式的圖像都是拋物線（板書）

在此處，可大致解釋一下拋物線是由物理中的問題而來的，不要深講。

再結合圖像指出：拋物線 是開口向上的，y軸是它的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點，即（0，0）點。

關於拋物線的頂點，可按不同層次的學生進行不同層次的解釋：

從圖像上直觀得到：拋物線 的頂點是圖像的最低點：從解析式上看，當 時， 取得最小值0，（0，0）就是拋物線 的頂點坐標。

（二）總結、擴展

教師提問，學生思考回答：

1.你能否說清二次函式的意義？

注意總結：（1）函式解析式關於自變數是整式；（2）自變數的最高次數是2。

2.二次函式 的圖像是什麼形狀的？它的開口方向，對稱軸，頂點坐標各是什麼？

五、布置作業 

教材P114  1、2、3

六、板書設計

教學設計示例1

課題：二次函式 的圖象

教學目標 ：

1、會用描點法畫出二次函式 的圖象；

2、根據圖象觀察、分析出二次函式 的性質；

3、進一步理解二次函式和拋物線的有關知識

4、滲透由特殊到一般的辯證唯物主義觀點；

5、滲透數形結合的數學思想方法，培養觀察能力和分析問題的能力；

6、培養學生勇於探索創創新及實事求是的科學精神.

教學重點：根據圖象，觀察、分析出二次函式的性質

教學難點 ：滲透數形結合的數學思想方法

教學用具：直尺、微機

教學方法：談話、探究式

教學過程 ：

1、列表、描點畫出函式 與 的圖象，引入新課

例：畫出函式 與 的圖象

解：列兩個表

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

8

4.5

2

0.5

0

0.5

2

4.5

8

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

8

4.5

2

0.5

0

0.5

2

4.5

8

分別描點畫圖

2、根據圖象發現問題，由學生探索出新知識.

提問：你能從圖象中發現拋物線是哪些性質？這兩個函式圖象有何異同？

（1）這兩個函式的圖象都關於y軸對稱.這一點可以從剛才的列表中可以看出， 時所對應的y值分別相等，如 等.這樣的兩個點關於y軸對稱.由這些點構成的拋物線也關於y軸對稱.從解析式中也可以得出這個結論：互為相反數的兩個數的平方數相等，因此，這兩個函式的圖象都是關於y軸對稱的.

（2）從圖中可以看出，x可取x軸上的任意一點，而y對應的是大於、等於零的數.即拋物線有最低點（0，0）.這一點可以從解析式中得到很好的解釋， 可取

任意實數. 圖象開口向上.這也說明數與形是數學中的兩條線索，它們是互相對應的，反映了數形結合的思想.

（3）從圖中也可以看出拋物線不同於我們以前學過的正比例函式和一次函式，這兩個函式的圖象都是直線，而拋物線是曲線，有一個拐彎，函式的圖象都在最低點拐了一個彎.這樣它們的性質幾發生了變化.在y軸的左側，從左向右呈下坡趨勢，即y隨x的增大而減小；在y軸的右側，從左向右，呈上坡趨勢，即y隨x的增大而增大.這一變化趨勢也可以從列表中看出.

（4）這兩個圖象除以上相同之處外，還有不同的地方.如： 離y軸近， 離y軸遠.從列表中可以看出：如 過點（2，2），而 過點（2，8）也就是說，當x=2時， 的圖象所對應的點高於 所對應的點.因此會有上述的結論.

3、畫出函式 的圖象

與 中的a都是正數，當a<0時， 的圖象會是什麼樣子呢？

我們看例2

例2、畫出函式 的圖象

解：列表：

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-9

-4

-1

0

-1

-4

-9

描點畫圖：

4、從函式圖象入手，再次總結二次函式的性質

(1)與剛才兩個圖象不同的是， 的圖象開口向下.這是因為x是任意實數， ， 即 ，因此，開口會向下.圖象有最高點（0，0）

(2)此圖象仍然是關於y軸對稱的

(3)在y軸的左側，y隨x的增大而增大；在y軸的右側，y隨x的增大而減小

5、得出一般的規律

一般地，拋物線 的對稱軸是y軸，頂點是原點，當a>0時，拋物線 的開口向上，當a<0時，拋物線 的開口向下，a的絕對值越大，圖象越靠近y軸.

6、小結：這一節課，從始至中都是結合圖象觀察、歸納總結出二次函式 的性質，體現了數與形的結合.函式圖象是解決函式問題的有利工具，希望大家能自覺地套用.

7、作業 ：習題13.6A組1、2B組1、2

教學設計示例2

課題：二次函式 的圖象

第一課時

一、素質教育目標

（一）知識教學點

1.使學生知道二次函式的意義；

2.使學生會用描點法畫出二次函式 的圖像，並結合 的圖像，初步理解拋物線及其有關概念。

（二）能力訓練點

1.進一步培養學生用描點法畫函式圖像的能力；

2.向學生進行數形結合的數學思想方法的教育。

（三）德育滲透點

通過對幾個特殊的二次函式的講解，向學生進行一般與特殊的辯證唯物主義教育。

（四）美育滲透點

通過本節課的教學，滲透二次函式圖像的對稱美，曲線的平滑美。

二、學法引導

教師採用引導發現法，觀察法，講解法

本節的主要內容是理解二次函式的定義，知道二次函式解析式 中字母的意思，在畫 的圖像時，要知道圖形是拋物線，是軸對稱圖形、列表時，自變數x的值的選取，應以0為中心，對稱地選取兩對（或三對）互為相反數，最好x取整數值。

三、重點·難點·疑點及解決辦法

1.教學重點：二次函式的意義及二次函式 的圖像的畫法。因為它們是研究二次函式的重要基礎。

2.教學難點 ：正確畫出二次函式 的圖像。因為它的圖像是一條曲線，畫起來較複雜，而且學生在畫圖之前，尚不清楚二次函式 的圖像的具體形狀和變化趨勢，所以不易把握。

3.教學疑點：（1） ；（2） 的圖像的反性質。

4.解決辦法：（1）關於二次函式的定義，關鍵要注意：自變數的最高次數定義，二次項係數 ；（2） 的圖像和性質，不可死記硬背，要結合圖像理解和掌握二次函式 的幾個主要特徵，如開口方向，頂點坐標（或位置），對稱軸，最大值最小值等。

四、教學步驟 

（一）教學過程 

首先，我們來看兩個實驗問題：（出示幻燈）

1.圓的半徑是R，它的面積為S，你能否寫出S與R之間的函式關係式？

這個問題由學生舉手回答，可找層次較低的學生完成，培養他們的參與意識和自信心。然後把答案寫在黑板上留用。

2.已知一個矩形場地的周長是60，一邊長為l，請你寫出這個矩形場地的面積S與這條邊長之間的函式關係式。

這個問題其實就是13.2中的例1，可由學生得出結論，若學生給出的是 ，再繼續提問：你能否把函式關係式中的括弧去掉？然後把所得的結論寫在黑板上。

提問：比較 與 這兩個函式，都是用自變數的幾次式來表示的？

用這個問題，引出二次函式，在學生回答之後，教師加以總結，板書：

一般地，如果 （a、b、c是常數， ），那么，y叫做x的二次函式。

提問：1.上述概念中的a為什麼不能是0？

2.對於二次函式 中的b和c可否為0？若b和c其一為0或均為0，上述函式的式子可以改寫成怎樣？你認為它們還是不是二次函式？

3.由問題1和2，你能否總結：一個函式是否是二次函式，關鍵看什麼？

由這三個問題加深學生對二次函式意義的理解，也同時給出了二次函式的三個特例： ； ； ，使學生深刻理解：看一個函式是否是二次函式的關鍵是看二次項的係數是否為0.

4.二次函式的解析式，與我們所學過的什麼知識相類似？

通過這個問題，使學生能把二次函式與一元二次方程初步搭上聯繫即可，為以後的教學

做好鋪墊.

練習一：P108中1、2  口答，注意第1題要讓學生說明不是二次函式的原因

提問：根據我們所學知道，一次函式的圖像是條直線，那么二次函式的圖像又是什麼樣的呢？

這個問題主要是為了引起學生的興趣，不必回答，教師也不用給出答案.

我們研究任何問題都最好由最簡單的入手，根據剛才對二次函式的介紹，你認為最簡單的二次函式是什麼？

這個問題一方面可以使學生自然過渡到要先研究 .另一方面也使同學認識到研

究問題要由簡到繁的基本方法.

所以第三個問題是，由我們學習的畫函式的圖像方法與步驟，我們應怎樣畫二次函式 的圖像呢？

可由學生先回答畫函式圖像的三個步驟：（1）列表；（2）描點；（3）連線.然後分步驟來研究這個圖像的方法.

（1）列表：①自變數x的取值範圍是什麼？

②要畫這個圖，你認為x取整數還是取其他數較好？

③看 ，它是一個數的平方形式，它的結論與x的值有什麼關係？

學生可能有多種答法，引導學生回答：當x取互為相反數時， 的值相同.

④若選7個點畫圖，你準備怎樣選？

通過這4個問題可以使學生很順利地想到為什麼要先取書上給出的這7個點，而且也使

學生初步學會畫二次函式圖像時選點的技巧.

（2）描點：①在畫坐標系時x軸的正、負半鈾和y軸的正、負半軸是否都要畫一樣的長？

②怎樣畫就可以了呢？

答：x軸的正、負半軸畫的一樣長，y的正半軸畫的較長，負半軸畫的較短就可以.

通過這兩個問題可培養學生的作圖技巧.

（2）連線：①觀察這7個點的位置，它們是否在一條直線上？

②我們應怎樣連線這7個點？

讓學生先連一次試試，然後教師演示。關於原點附近的變化趨勢，最好能用動畫演示，增強學生的直觀認識，或看書也可以.

注意：我們所畫的只是近似圖像.

接下來，讓學生觀察這個函式圖像提問：

1.函式 的圖像有什麼特點？

答：是軸對稱圖形.

2.你是怎樣判斷函式 的圖像有上述特徵的？

這個問題，按不同的層次，有三種得出方法：（1）觀察圖；（2）看列表；（3）直接根據解析式，看學生層次定講解的深度.

學生回答完上面的問題之後就可指出：函式 的圖像是一條關於y軸對稱的曲線，這條曲線叫做拋物線。實際上，二次函式的圖像都是拋物線（板書）

在此處，可大致解釋一下拋物線是由物理中的問題而來的，不要深講。

再結合圖像指出：拋物線 是開口向上的，y軸是它的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點，即（0，0）點。

關於拋物線的頂點，可按不同層次的學生進行不同層次的解釋：

從圖像上直觀得到：拋物線 的頂點是圖像的最低點：從解析式上看，當 時， 取得最小值0，（0，0）就是拋物線 的頂點坐標。

（二）總結、擴展

教師提問，學生思考回答：

1.你能否說清二次函式的意義？

注意總結：（1）函式解析式關於自變數是整式；（2）自變數的最高次數是2。

2.二次函式 的圖像是什麼形狀的？它的開口方向，對稱軸，頂點坐標各是什麼？

五、布置作業 

教材P114  1、2、3

六、板書設計 

教學設計示例1

課題：二次函式 的圖象

教學目標 ：

1、會用描點法畫出二次函式 的圖象；

2、根據圖象觀察、分析出二次函式 的性質；

3、進一步理解二次函式和拋物線的有關知識

4、滲透由特殊到一般的辯證唯物主義觀點；

5、滲透數形結合的數學思想方法，培養觀察能力和分析問題的能力；

6、培養學生勇於探索創創新及實事求是的科學精神.

教學重點：根據圖象，觀察、分析出二次函式的性質

教學難點 ：滲透數形結合的數學思想方法

教學用具：直尺、微機

教學方法：談話、探究式

教學過程 ：

1、列表、描點畫出函式 與 的圖象，引入新課

例：畫出函式 與 的圖象

解：列兩個表

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

8

4.5

2

0.5

0

0.5

2

4.5

8

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

8

4.5

2

0.5

0

0.5

2

4.5

8

分別描點畫圖

2、根據圖象發現問題，由學生探索出新知識.

提問：你能從圖象中發現拋物線是哪些性質？這兩個函式圖象有何異同？

（1）這兩個函式的圖象都關於y軸對稱.這一點可以從剛才的列表中可以看出， 時所對應的y值分別相等，如 等.這樣的兩個點關於y軸對稱.由這些點構成的拋物線也關於y軸對稱.從解析式中也可以得出這個結論：互為相反數的兩個數的平方數相等，因此，這兩個函式的圖象都是關於y軸對稱的.

（2）從圖中可以看出，x可取x軸上的任意一點，而y對應的是大於、等於零的數.即拋物線有最低點（0，0）.這一點可以從解析式中得到很好的解釋， 可取

任意實數. 圖象開口向上.這也說明數與形是數學中的兩條線索，它們是互相對應的，反映了數形結合的思想.

（3）從圖中也可以看出拋物線不同於我們以前學過的正比例函式和一次函式，這兩個函式的圖象都是直線，而拋物線是曲線，有一個拐彎，函式的圖象都在最低點拐了一個彎.這樣它們的性質幾發生了變化.在y軸的左側，從左向右呈下坡趨勢，即y隨x的增大而減小；在y軸的右側，從左向右，呈上坡趨勢，即y隨x的增大而增大.這一變化趨勢也可以從列表中看出.

（4）這兩個圖象除以上相同之處外，還有不同的地方.如： 離y軸近， 離y軸遠.從列表中可以看出：如 過點（2，2），而 過點（2，8）也就是說，當x=2時， 的圖象所對應的點高於 所對應的點.因此會有上述的結論.

3、畫出函式 的圖象

與 中的a都是正數，當a<0時， 的圖象會是什麼樣子呢？

我們看例2

例2、畫出函式 的圖象

解：列表：

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-9

-4

-1

0

-1

-4

-9

描點畫圖：

4、從函式圖象入手，再次總結二次函式的性質

(1)與剛才兩個圖象不同的是， 的圖象開口向下.這是因為x是任意實數， ， 即 ，因此，開口會向下.圖象有最高點（0，0）

(2)此圖象仍然是關於y軸對稱的

(3)在y軸的左側，y隨x的增大而增大；在y軸的右側，y隨x的增大而減小

5、得出一般的規律

一般地，拋物線 的對稱軸是y軸，頂點是原點，當a>0時，拋物線 的開口向上，當a<0時，拋物線 的開口向下，a的絕對值越大，圖象越靠近y軸.

6、小結：這一節課，從始至中都是結合圖象觀察、歸納總結出二次函式 的性質，體現了數與形的結合.函式圖象是解決函式問題的有利工具，希望大家能自覺地套用.

7、作業 ：習題13.6A組1、2B組1、2

教學設計示例2

課題：二次函式 的圖象

第一課時

一、素質教育目標

（一）知識教學點

1.使學生知道二次函式的意義；

2.使學生會用描點法畫出二次函式 的圖像，並結合 的圖像，初步理解拋物線及其有關概念。

（二）能力訓練點

1.進一步培養學生用描點法畫函式圖像的能力；

2.向學生進行數形結合的數學思想方法的教育。

（三）德育滲透點

通過對幾個特殊的二次函式的講解，向學生進行一般與特殊的辯證唯物主義教育。

（四）美育滲透點

通過本節課的教學，滲透二次函式圖像的對稱美，曲線的平滑美。

二、學法引導

教師採用引導發現法，觀察法，講解法

本節的主要內容是理解二次函式的定義，知道二次函式解析式 中字母的意思，在畫 的圖像時，要知道圖形是拋物線，是軸對稱圖形、列表時，自變數x的值的選取，應以0為中心，對稱地選取兩對（或三對）互為相反數，最好x取整數值。

三、重點·難點·疑點及解決辦法

1.教學重點：二次函式的意義及二次函式 的圖像的畫法。因為它們是研究二次函式的重要基礎。

2.教學難點 ：正確畫出二次函式 的圖像。因為它的圖像是一條曲線，畫起來較複雜，而且學生在畫圖之前，尚不清楚二次函式 的圖像的具體形狀和變化趨勢，所以不易把握。

3.教學疑點：（1） ；（2） 的圖像的反性質。

4.解決辦法：（1）關於二次函式的定義，關鍵要注意：自變數的最高次數定義，二次項係數 ；（2） 的圖像和性質，不可死記硬背，要結合圖像理解和掌握二次函式 的幾個主要特徵，如開口方向，頂點坐標（或位置），對稱軸，最大值最小值等。

四、教學步驟 

（一）教學過程 

首先，我們來看兩個實驗問題：（出示幻燈）

1.圓的半徑是R，它的面積為S，你能否寫出S與R之間的函式關係式？

這個問題由學生舉手回答，可找層次較低的學生完成，培養他們的參與意識和自信心。然後把答案寫在黑板上留用。

2.已知一個矩形場地的周長是60，一邊長為l，請你寫出這個矩形場地的面積S與這條邊長之間的函式關係式。

這個問題其實就是13.2中的例1，可由學生得出結論，若學生給出的是 ，再繼續提問：你能否把函式關係式中的括弧去掉？然後把所得的結論寫在黑板上。

提問：比較 與 這兩個函式，都是用自變數的幾次式來表示的？

用這個問題，引出二次函式，在學生回答之後，教師加以總結，板書：

一般地，如果 （a、b、c是常數， ），那么，y叫做x的二次函式。

提問：1.上述概念中的a為什麼不能是0？

2.對於二次函式 中的b和c可否為0？若b和c其一為0或均為0，上述函式的式子可以改寫成怎樣？你認為它們還是不是二次函式？

3.由問題1和2，你能否總結：一個函式是否是二次函式，關鍵看什麼？

由這三個問題加深學生對二次函式意義的理解，也同時給出了二次函式的三個特例： ； ； ，使學生深刻理解：看一個函式是否是二次函式的關鍵是看二次項的係數是否為0.

4.二次函式的解析式，與我們所學過的什麼知識相類似？

通過這個問題，使學生能把二次函式與一元二次方程初步搭上聯繫即可，為以後的教學

做好鋪墊.

練習一：P108中1、2  口答，注意第1題要讓學生說明不是二次函式的原因

提問：根據我們所學知道，一次函式的圖像是條直線，那么二次函式的圖像又是什麼樣的呢？

這個問題主要是為了引起學生的興趣，不必回答，教師也不用給出答案.

我們研究任何問題都最好由最簡單的入手，根據剛才對二次函式的介紹，你認為最簡單的二次函式是什麼？

這個問題一方面可以使學生自然過渡到要先研究 .另一方面也使同學認識到研

究問題要由簡到繁的基本方法.

所以第三個問題是，由我們學習的畫函式的圖像方法與步驟，我們應怎樣畫二次函式 的圖像呢？

可由學生先回答畫函式圖像的三個步驟：（1）列表；（2）描點；（3）連線.然後分步驟來研究這個圖像的方法.

（1）列表：①自變數x的取值範圍是什麼？

②要畫這個圖，你認為x取整數還是取其他數較好？

③看 ，它是一個數的平方形式，它的結論與x的值有什麼關係？

學生可能有多種答法，引導學生回答：當x取互為相反數時， 的值相同.

④若選7個點畫圖，你準備怎樣選？

通過這4個問題可以使學生很順利地想到為什麼要先取書上給出的這7個點，而且也使

學生初步學會畫二次函式圖像時選點的技巧.

（2）描點：①在畫坐標系時x軸的正、負半鈾和y軸的正、負半軸是否都要畫一樣的長？

②怎樣畫就可以了呢？

答：x軸的正、負半軸畫的一樣長，y的正半軸畫的較長，負半軸畫的較短就可以.

通過這兩個問題可培養學生的作圖技巧.

（2）連線：①觀察這7個點的位置，它們是否在一條直線上？

②我們應怎樣連線這7個點？

讓學生先連一次試試，然後教師演示。關於原點附近的變化趨勢，最好能用動畫演示，增強學生的直觀認識，或看書也可以.

注意：我們所畫的只是近似圖像.

接下來，讓學生觀察這個函式圖像提問：

1.函式 的圖像有什麼特點？

答：是軸對稱圖形.

2.你是怎樣判斷函式 的圖像有上述特徵的？

這個問題，按不同的層次，有三種得出方法：（1）觀察圖；（2）看列表；（3）直接根據解析式，看學生層次定講解的深度.

學生回答完上面的問題之後就可指出：函式 的圖像是一條關於y軸對稱的曲線，這條曲線叫做拋物線。實際上，二次函式的圖像都是拋物線（板書）

在此處，可大致解釋一下拋物線是由物理中的問題而來的，不要深講。

再結合圖像指出：拋物線 是開口向上的，y軸是它的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點，即（0，0）點。

關於拋物線的頂點，可按不同層次的學生進行不同層次的解釋：

從圖像上直觀得到：拋物線 的頂點是圖像的最低點：從解析式上看，當 時， 取得最小值0，（0，0）就是拋物線 的頂點坐標。

（二）總結、擴展

教師提問，學生思考回答：

1.你能否說清二次函式的意義？

注意總結：（1）函式解析式關於自變數是整式；（2）自變數的最高次數是2。

2.二次函式 的圖像是什麼形狀的？它的開口方向，對稱軸，頂點坐標各是什麼？

五、布置作業 

教材P114  1、2、3

六、板書設計 

二次函式y=ax2bxc 的圖象 篇1

教學目標：

1、使學生進一步理解二次函式的基本性質；

2、滲透解析幾何，數形結合，函式等數學思想.培養學生髮現問題解決問題，及邏輯思維的能力.

3、使學生參與教學過程，通過主體的積極思維，體驗感悟數學.逐步建立數學的觀念，培養學生獨立地獲取知識的能力.

教學重點：初步理解數形結合的數學思想

教學難點：初步理解數形結合的數學思想

教學用具：微機

教學方法：探究式、小組合作學習

教學過程：

例1、已知：拋物線y=x2－（m2－1）x－2m2－2

⑴求證：無論m取什麼實數，拋物線與x軸一定有兩個交點

⑵m取什麼實數時，兩交點間距離最短？是多少？

解：

△ =(m2－1)2＋4(2m2＋2)

=m4－2m2＋1＋8m2＋8

=m4＋6m2＋9

=(m2＋3)2

m2≥0

∴m2＋3＞0

∴△＞0 

∴拋物線與x軸有兩個交點

問題：為什麼說當△＞0時，拋物線y =ax2+bx+c與x軸有兩個交點.（能否從數和形兩方面說明）

設計意圖：在課堂上創設讓學生說數學的機會，學會合作學習，以達到①經驗共享，在思維的碰撞中共同提高.②學會合作，消除個人中心.③發現自我，提高參與度.④弘揚個體的主體性，形成健康，豐富的個性.

數：點在曲線上，點的坐標滿足曲線的方程.反之，曲線方程的每一個實數解對應的點都在曲線上.拋物線與x軸的交點，既在拋物線上，又在x軸上.所以交點的坐標既滿足拋物線的解析式，也滿足x軸的解析式.設交點坐標為（x，y）

∴

這樣交點問題就轉化成求這個二元二次方程組的解.代入y =0，消去y，轉化成ax2+bx+c=0這個一元二次方程求根問題.根據以前學過的知識，當△＞0時， ax2+bx+c=0有兩個不相等的實根.∴y =ax2+bx+c

《二次函式套用》導學案

學習目標
1.  掌握實際問題中變數之間的二次函式關係，並運用二次函式的知識解決實際問題
2.  將實際問題轉化為數學問題，並運用二次函式的知識解決實際問題。
 
學習重點和難點
運用二次函式的知識解決實際問題
 
課前準備：
學習過程：
一、自主嘗試
1.圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在l時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2m，水面寬4m.如圖建立平面直角坐標系，則拋物線的關係式是（）
a.  b. c. d.
 
 
 
2.九年級的一場籃球比賽中，如圖隊員甲正在投籃，已知球出手時離地面高 m，當球出手後水平距離為4m時到達最大高度4m，設籃球運行的線路為拋物線，建立如圖的平面直角坐標系，設籃球出手後離地的水平距離為xm，高度為ym，求y關於x的函式解析式。
 


二、互動探究
例1  如圖，某噴灌設備的噴頭b高出地面1.2m，如果噴出的拋物線形水流的水平距離x(m)與高度y(m)之間的關係為二次函式y=a(x-4)2+2.
求：（1）二次函式的解析式
（2）水流落地點d與噴頭底部a的距離（精確到0.1）
 
 
 
例2：某校初三年級的一場籃球比賽中，如圖隊員甲正在投籃，已知球出手時離地面高m，與籃圈中心的水平距離為7m，當球出手後水平距離為4m時到達最大高度4m，設籃球運行的軌跡為拋物線，籃圈距地面3m.
（1）建立如圖的平面直角坐標系，問此球能否準確投中？
（2）此時，若對方隊員乙在甲前面1m處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為3.1m，那么他能否獲得成功？

1. 拋物線y＝－x2＋4x－3的開口向______，對稱軸為__________，頂點p坐標為______________；與x 軸的交點是a 、b （a在b的左邊），與y軸的交點是c ；當 時，隨的增大而增大；△pab的面積=  ；當滿足 時，y>0.
2.已知二次函式y＝x2－5x＋1，當x＝_______時，這個二次函式取得最_______值，為_________.
3.已知二次函式，當 時，這個二次函式的圖像的對稱軸為軸.
4.把拋物線y=ax2+bx+c先向左平移2個單位，再向下平移l個單位後，恰好與拋物線y=2x2+4x+1重合.請則a= ，b= ，c= .
5.直線y1＝2x+3與拋物線y2＝x2的交點坐標是_______，當滿足  時，y1>y2.
6.已知二次函式，（1）若圖像的對稱軸是直線x=1, 那么它的頂點坐標是  ，
（2）若該函式有最小值為6，則m=  ；（3）若圖像與軸有2個交點，則m  .