多邊形教案

《多邊形 》教案 篇1

教學內容：LOGO語言重複命令

知識目的：

1、使學生了解重複命令的特點。

2、掌握重複命令的用法，能使用重複命令畫出各種圖形。

能力目標：

1、能總結重複的內容

2、重複的次數

情感目標：

1、增強學生學習信息技術的興趣。

2、培養學生的協作意識。

教學重點：重複命令的格式。

教學時間：一課時

教學過程：

1.畫正方形

⑵螢幕顯示畫正方形的8條命令，學生觀察有何特點。畫正方形的命令是由4組完全相同的命令（fd 50 rt 90）組成。

⑶螢幕顯示“repeat 4[fd 50 rt 90]”，請同學在LOGO語言中輸入，看一看有何效果。（也畫出了一個正方形）

⑷教師講解：這條命令也可以畫正方形，而且比剛才我們輸入的8條命令要簡潔了許多。這就是重複命令。用lg語言繪畫時，檢查要重複相同格式的命令，使輸入格式變得非常繁瑣。為了使命令變得簡單而且清晰，可以使用重複命令repeat，只要輸入這道命令，就可以完成許多相同的操作，小海龜就輕鬆多了。

⒉講解重複命令的格式

通過“repeat 4[fd 50 rt 90]”了解重複命令的格式：repeat 重複的次數[重複執行的內容]強調講解該命令。

從這節課開始我們學習重複命令，學會這條命令後，我們就能畫出很多由重複圖形組成的漂亮圖形。

小海龜每次轉360÷5=72度。

命令：REPEAT 5[FD 50 RT 72]或REPEAT 5[FD 50 RT ]邊長為60的正六邊形小海龜每次轉360÷6= 度。

命令：REPEAT 6[FD RT ]或REPEAT 6[FD RT ]小海龜每次轉 度。

“多邊形的外角和”教學反思 篇1

我聽了兩節公開課後，有一些想法，我們交流一下。

這兩節公開課，有共同的優點： 為了體現課堂以學生為主，培養學生自主探究的能力，採取了小組合作學習，著眼於課堂形式的多樣化及學生能力（如：合作、探究、交流等）的培養，在這一點上，體現了新課標的新理念。另外，布置了一定量的習題，鞏固了知識點的掌握和理解。不足之處是小組討論是新教材框架中的一個重要部分，教師事先一定要有詳細的計畫，教師還應精心策劃，討論如何有效地開展，時間多長，採取何種討論方法，教師在討論過程中又該擔當何種角色等。在這些方面，我覺得準備的不充分。另外在小組交流過程中學生的發言過分地注重於探索的結果，而忽視了學生探索過程的展示。同時教師有些總結性的話，限制了學生的思維，不能最大限度的發揮學生自主探究的能力。教師在教學過程中對學生的評價較為單一，肯定不夠及時，表揚不夠熱情。

對於這節課，我覺得是不是可以這樣來進行。先介紹外角和外角和的概念，然後分組，每組一種多邊形，分別剪拼外角和，探索外角和性質，由各組所得結論，猜想外角和性質，然後證明。這樣的過程中蘊含了歸納法的數學思想，經歷了由特殊到一般的過程。然後再輔以一定量的習題對知識點進行理解和鞏固。

根據這節課講授的內容，兩位老師均運用新課標的理念，從技能、知識、情感態度、學習策略和文化意識等整體方面看，較為成功地完成了教學任務，教學效果較好，主要表現在以下幾個方面：

對《多邊形的外角和》的反思 篇1

我聽了范宇老師的課以後，感觸很深，特別是她對本節的教學內容挖掘很深，對教材的把握很準。能夠利用多媒體教學把抽象的內容簡單明了地展示給學生，學生在輕鬆的狀態下接受，並能靈活運用。這是我認為本節最成功的地方。

新課程背景下的教學理念要求我們要幫助學生形成認知框架，帶給學生理智的挑戰，通過問題的解決進行學習。范宇老師的這節課通過設定問題，掌握原理，推導過程，靈活運用幾個環節。層層深入，環環緊扣。使學生感觸到知識的連貫性，緊密性，邏輯性，套用性。

首先這節課的開頭很吸引學生，觀察三個用三角形拼成的小花圖案，設定巧妙的問題讓學生進入課堂，而此時老師把本節的教學內容又巧妙隱藏在這些圖案當中培養學生在課堂上善於觀察思考的習慣，老師想要乾什麼？立即抓住了學生的注意力。此時老師用恰到好處的提問引導，把複雜的數學原理拆分成小的問題和知識點，例，求第一朵小花中的三個角的度數和，讓學生來尋求解決問題的方法，找到數學原理和數學知識，並用此種方法來解決第二朵小花和第三朵小花的問題，抓住學生的數學意識，使學生尋找數學知識解決問題的能力有所提高。用前後知識的連貫性把分散的知識凝聚在一起並把知識提升了一定的高度，把本節的教學重點和難點得以化解，充分體現了由特殊到一般的數學思想。此時老師給出了本節的課題《多邊形的外角和》從而完成了這節課的推導過程。遊刃有餘，自然流暢。

緊接著老師就學生學習的熱情來解決課本上的實際問題，學以致用，靈活運用。從而也達到本節課的高潮，難點知識輕鬆化解。整個過程鬆弛有度，緊緊抓住學生，充分體現了以學生為主的教學思想。

9.3用正多邊形拼地板 篇1

9.3

1、用相同的正多邊形拼地板

教學目的

1.通過用相同的正多邊形拼地板活動，鞏固多邊形的內角和與外角和公式。

2.通過“拼地板”和有關計算，使學生從中發現能拼成一個不留空隙，又不重疊的平面圖形的關鍵是幾個多邊形的內角相加要等於 360°。

3.使學生進一步認識圖形在日常生活中的套用。

重點、難點

1.重點：通過操作使學生髮現能拼成一個平面圖形的關鍵。

2.難點：同上。

教學過程

一、複習提問

1.多邊形的內角和公式是什麼?外角和?

2.什麼叫正多邊形?

二、新授

本章開頭已提出關於瓷磚的鋪設問題，今天我們來探究用什麼樣的正多邊形能拼成一個既不留下一絲空白，又不相互重疊的平面圖形。

請同學們拿出預先準備好的若干張正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形。

先用正三角形拼圖，你能拼出既不留空隙，又不重疊的平面圖形?再依次用正方形、正五邊形、正六邊形，正八邊形試一試，哪些可以，哪些不可以，你從中發現了什麼?

通過學生親自動手拼圖，使他們發現能拼成既不留空隙，又不重疊的平面圖形的關鍵是圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角相加恰好等於360°。

下面我們再通過用計算器計算，看看哪些正多邊形能拼成符合以上條件的圖形。

讓學生填教科書表9.3.1

每個內角為多少度時能拼成符合以上條件的平面圖呢?

因為60°×6=360°  用6個正三角形瓷磚就可以鋪滿地面

90°×4=360°  即用4個正方形瓷磚就可以鋪滿地面。

多邊形的內角教案 篇1

教學目標

知識與技能：經歷探索多邊形的外角和公式的過程;會套用公式解決問題;

過程與方法：培養學生把未知轉化為已知進行探究的能力，在探究活動中，進一步發展學生的說理能力與簡單的推理能力.

情感態度與價值觀：讓學生體驗猜想得到證實的成功喜悅和成就感，在解題中感受生活中數學的存在，體驗數學充滿著探索和創造.

教學重點：多邊形外角和定理的探索和套用.

教學難點：靈活運用公式解決簡單的實際問題;轉化的數學思維方法的滲透.

教學準備：多媒體課件

教學過程

第一環節 創設情境，引入新課(5分鐘，學生理解情境，思考問題)

問題：(多媒體演示)清晨，小明沿一個五邊形廣場周圍的`小路，按逆時針方向跑步。

(1)小明每從一條街道轉到下一條街道時，身體轉過的角是哪個角?

(2)他每跑完一圈，身體轉過的角度之和是多少?

(3)在上圖中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的結果嗎?你是怎樣得到的?

第二環節 問題解決(10分鐘，小組討論，合作探究)

對於上述的問題，如果學生能給出一些合理的解釋和解答(例如利用內角和)，可以按照學生的思路走下去。然後再給出“小亮的做法”或以“小亮做法”為提示，鼓勵學生思考。如果學生對於這個問題無法突破，教師可以給出“小亮的做法”，或引導學生按“小亮的做法”這樣的思路去思考，以便解決這個問題。

小亮是這樣思考的：如圖所示，過平面內一點O分別作與五邊形ABCDE各邊平行的射線OA′，OB′，OC′，OD′，OE′，得到∠α，∠β，∠γ，∠δ，∠θ，其中，∠α=∠1，∠β=∠2，∠γ=∠3，∠δ=∠4，∠θ=∠5.

正多邊形的有關計算的教案 篇1

一、教學目的

1、鞏固上一堂所學知識，以便熟練正確運用。

2、訓練學生把實際問題抽象為數學問題，並能準確進行計算的能力。

二、教學重點、難點

重點：正多邊形的有關計算化歸為解直角三角形的問題。

難點：把實際問題抽象為數學問題並進行計算的能力。

三、教學過程

複習提問

1、正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形，試說出這些直角三角形全等的道理。

2、正三角的內切圓半徑、外接圓半徑和高的`比為。

引入新課

上一課我們已經初步掌握了利用定理把正多邊形計算問題轉化為解直角三角形問題的方法和技能、這一堂我們還要繼續熟悉和鞏固這種方法，並聯繫實際解決一些比較簡單的實用問題。

新課

這是一堂習題課，方式、方法可以靈活多樣，以期激發學生學習興趣，調動其學習積極性。

例2在一種聯合收割機上，撥禾輪的側面是正五邊形(課本圖7-88)，測得這個正五邊形的邊長是48cm，求它的半徑R5和邊心距r5(精確到0、1cm)。

引導學生把撥禾輪的側面輪廓線畫成一個邊長為48cm(按一定比例縮小)的正五邊形，作出相應的Rt△OAF，解之可得R5(斜邊)和r5(一直角邊)。

告訴學生，輪廓線在正多邊形的機械零件圖、裝飾圖案等各種尺寸的計算問題中經常遇到，要仿照這個例子進行計算。

如圖1，尋找解題思路時，根據△AOB的特殊性，即∠AOB=36°，∠OAB=∠OBA=72°、若能作出∠OBA的平分線，則立刻可得兩個相似△OAB和△BAM，據此列出關於R的二次方程，問題獲解。

畫正多邊形 篇1

教學設計示例1

教學目標：

（1）了解用量角器等分圓心角來等分圓；掌握用尺規作圓內接正方形和正六邊形，能作圓內接正八邊形、正三角形、正十二邊形；

（2）通過畫圖培養學生的畫圖能力；

（3）對學生進行審美教育，提高學生的審美能力，促進學生對幾何學習的熱情.

教學重點：

(1)量角器等分圓心角來等分圓；

(2)尺規作圓內接正方形和正六邊形.

教學難點：

準確作圖.

教學活動設計：

（一）提出問題：

由於正多邊形在生產、生活實際中有廣泛的套用性，所以會應是學生必備能力之一.

問題1：已知⊙O的半徑為2cm，求作圓的內接正三角形.

教師組織學生進行，方法不限.

目的：充分發展學生的發散思維.

（二）解決問題：

以下為解決問題的參考方案：(上課時教師歸納學生的方法)

(1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°.

②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.

(2)尺規法：（如上右圖）用圓規在⊙O上截取長度等於半徑（2cm）的弦，連結AB、BC、CA即可.

(3)計算與尺規結合法：由正三角形的半徑與邊長的關係可得，正三角形的邊長=R=2（cm），用圓規在⊙O上截取長度為2（cm）的弦AB、AC，連結AB、BC、CA即可.

（三）研究、歸納

1、用量角器等分圓：

依據：等圓中相等的圓心角所對應的弧相等.

操作：兩種情況：其一是依次畫出相等的圓心角來等分圓，這種方法比較準確，但是麻煩；其二是先用量角器畫一個圓心角，然後在圓上依次截取等於該圓心角所對弧的等弧，於是得到圓的等分點，這種方法比較方便，但畫圖的誤差積累到最後一個等分點，使畫出的正多邊形的邊長誤差較大.

《多邊形的外角和》教學反思 篇1

我聽了兩節公開課後，有一些想法，我們交流一下。

這兩節公開課，有共同的優點： 為了體現課堂以學生為主，培養學生自主探究的能力，採取了小組合作學習，著眼於課堂形式的多樣化及學生能力（如：合作、探究、交流等）的培養，在這一點上，體現了新課標的新理念。另外，布置了一定量的習題，鞏固了知識點的掌握和理解。不足之處是小組討論是新教材框架中的一個重要部分，教師事先一定要有詳細的計畫，教師還應精心策劃，討論如何有效地開展，時間多長，採取何種討論方法，教師在討論過程中又該擔當何種角色等。在這些方面，我覺得準備的不充分。另外在小組交流過程中學生的發言過分地注重於探索的結果，而忽視了學生探索過程的展示。同時教師有些總結性的話，限制了學生的思維，不能最大限度的發揮學生自主探究的能力。教師在教學過程中對學生的評價較為單一，肯定不夠及時，表揚不夠熱情。

對於這節課，我覺得是不是可以這樣來進行。先介紹外角和外角和的概念，然後分組，每組一種多邊形，分別剪拼外角和，探索外角和性質，由各組所得結論，猜想外角和性質，然後證明。這樣的過程中蘊含了歸納法的數學思想，經歷了由特殊到一般的過程。然後再輔以一定量的習題對知識點進行理解和鞏固。

根據這節課講授的內容，兩位老師均運用新課標的理念，從技能、知識、情感態度、學習策略和文化意識等整體方面看，較為成功地完成了教學任務，教學效果較好，主要表現在以下幾個方面：

畫正多邊形 篇1

教學設計示例1

教學目標 ：

（1）了解用量角器等分圓心角來等分圓；掌握用尺規作圓內接正方形和正六邊形，能作圓內接正八邊形、正三角形、正十二邊形；

（2）通過畫圖培養學生的畫圖能力；

（3）對學生進行審美教育，提高學生的審美能力，促進學生對幾何學習的熱情.

教學重點：

(1)量角器等分圓心角來等分圓；

(2)尺規作圓內接正方形和正六邊形.

教學難點 ：

準確作圖.

教學活動設計：

（一）提出問題：

由於正多邊形在生產、生活實際中有廣泛的套用性，所以會應是學生必備能力之一.

問題1：已知⊙O的半徑為2cm，求作圓的內接正三角形.

教師組織學生進行，方法不限.

目的：充分發展學生的發散思維.

（二）解決問題：

以下為解決問題的參考方案：(上課時教師歸納學生的方法)

(1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°.

②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.

(2)尺規法：（如上右圖）用圓規在⊙O上截取長度等於半徑（2cm）的弦，連結AB、BC、CA即可.

(3)計算與尺規結合法：由正三角形的半徑與邊長的關係可得，正三角形的邊長=R=2（cm），用圓規在⊙O上截取長度為2（cm）的弦AB、AC，連結AB、BC、CA即可.

（三）研究、歸納

1、用量角器等分圓：

依據：等圓中相等的圓心角所對應的弧相等.

操作：兩種情況：其一是依次畫出相等的圓心角來等分圓，這種方法比較準確，但是麻煩；其二是先用量角器畫一個圓心角，然後在圓上依次截取等於該圓心角所對弧的等弧，於是得到圓的等分點，這種方法比較方便，但畫圖的誤差積累到最後一個等分點，使畫出的正多邊形的邊長誤差較大.

問題2：把半徑為2cm⊙O九等份.

（先畫半徑2cm的圓，然後把360°的圓心角9等份，每一份40°）

歸納：用量角器等分圓，方法簡便，可以把圓任意n等分，但有誤差.

2、用尺規等分圓：

（1）問題3：作正四邊形、正八邊形.

教師組織學生，分析、作圖.

歸納：只要作出已知⊙O的互相垂直的直徑即得圓內接正方形，再過圓心作各邊的垂線與⊙O相交，或作各中心角的角平分線與⊙O相交，即得圓接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形……

（2）問題4：作正六、三、十二邊形.

教師組織學生，分析、作圖.

歸納：先作出正六邊形，則可作正三角形，正十二邊形，正二十四邊形………理論上我們可以一直畫下去，但大家不難發現，隨著邊數的增加，正多邊形越來越接近於圓，正多邊形將越來越難畫.

（四）總結

（1）用量角器等分圓周作正n邊形；

（2）用尺規作正方形及由此擴展作正八邊形、用尺規作正六邊形及由此擴展作正12邊形、正三角形.

（五）作業  教材P173中13.

教學設計示例2

教學目標 ：

1、能套用解決實際問題；會畫正五邊形的近似圖；了解等分圓的美麗圖形；

2、通過運用正多邊形的有關計算和畫圖解決實際問題培養學生分析問題、解決問題的能力；

3、對學生進行審美教育和文化傳統教育和愛國教育；

4、滲透數學建模思想.

教學重點：

套用正多邊形的計算與畫圖解決實際問題.

教學難點 ：

數學模型的建立，和正多邊形的有關計算問題.

教學活動設計：

（一）知識回顧：

分別畫半徑2cm的圓內接正六邊形、內接正三角形、內接正十二邊形、內接正方形、內接正八邊形.

要求①尺規作圖；②說明畫法；③指出作圖依據；④學生獨立完成.

教師巡視，對畫的好的學生給於表揚，對有問題的學生給於指導.

（二）畫圖套用：

例1、有一個亭子，它的地基是半徑為4m的正八邊形，(1)用1∶200的比例尺畫出地基平面圖；(2)求地基的邊長a8(精確到0.01m)和面積S8(精確到0.1m2)

教師引導學生分析：①比例尺=；②正八邊形的半徑R=2cm；③如何解正八邊形和近似計算.

（1）畫法：1.以任意一點O為圓心，以4m的 ，即2cm為半徑畫⊙O(如圖).

2.作⊙O的直徑AC、BD，使AC⊥BD.

3.作平分 、的直徑EG、FH.

4.順次連結AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA.

八邊形AEBFCGDH就是亭子地基的正八邊形.

（2）解（學生分析解題方法）：

（m）

（m）

（m2）

答：（略）

我國民間相傳有五邊形的近似畫法，畫法口訣是：“九五頂五九，八五兩邊分”，它的意義如圖：如果正五邊形的邊長為10，作它的中垂線AF，取AF=15.4，在AF上取FM=9.5，則AM=5.9，過點M作BE⊥AF，在BE上取BM=ME=8.連結AB、BC、DE、EA即可.

例2、用民間相傳畫法口訣，畫邊長為20mm的正五邊形.

分析：要畫邊長20mm的正五邊形，關鍵在於計算出口訣中各部分的尺寸，由於要畫的正五邊形與口訣正五邊形相似，所以要畫的正五邊形的各部分應與口訣正五邊形各部分對應成比例.由已知知道要畫正五邊形的邊CD=20mm.請同學們算出各部分的尺寸，並按口訣畫出正五邊形ABCDE.

（畫法：略.參看教材P170）

說明：雖然這種畫法是近似畫法，但是這種畫法的精確度卻是很高的.有能力的學生課下可以探究和計算.

通過正五邊形的民間近似畫法的教學弘揚民族文化，揭示其科學性，滲透實踐出真知的觀點.

（三）優美圖案欣賞和畫法：

請學生欣賞下列圖案，分析圖案結構，畫出圖案.

組織學生進行，可以讓學生獨立完成，也可以讓學生協作完成，對畫的較好的同學給予表彰.

（四）總結

1、運用正多邊形的知識解決實際問題；

2、學習了民間畫正五邊形的近似畫法；

3、學習了分解與組合有關正多邊形的幾何圖案.

（五）作業 

教材P171中練習1；P173中12；P173中14.

探究活動

圖案設計

某學校在教學樓前的圓形廣場中，準備建造一個花園，並在花園內分別種植牡丹、月季和杜鵑三種花卉。為了美觀，種植要求如下：

（1）種植4塊面積相等的牡丹、4塊面積相等的月季和一塊杜鵑。（注意：面積相等必須由數學知識作保證）

（2）花卉總面積等於廣場面積

（3）花園邊界只能種植牡丹花，杜鵑花種植在花園中間且與牡丹花沒有公共邊。

請你設計種植方案：（設計的方案越多越好；不同的方案類型不同.）

答案提示：

教學設計示例1

教學目標 ：

（1）了解用量角器等分圓心角來等分圓；掌握用尺規作圓內接正方形和正六邊形，能作圓內接正八邊形、正三角形、正十二邊形；

（2）通過畫圖培養學生的畫圖能力；

（3）對學生進行審美教育，提高學生的審美能力，促進學生對幾何學習的熱情.

教學重點：

(1)量角器等分圓心角來等分圓；

(2)尺規作圓內接正方形和正六邊形.

教學難點 ：

準確作圖.

教學活動設計：

（一）提出問題：

由於正多邊形在生產、生活實際中有廣泛的套用性，所以會應是學生必備能力之一.

問題1：已知⊙O的半徑為2cm，求作圓的內接正三角形.

教師組織學生進行，方法不限.

目的：充分發展學生的發散思維.

（二）解決問題：

以下為解決問題的參考方案：(上課時教師歸納學生的方法)

(1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°.

②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.

(2)尺規法：（如上右圖）用圓規在⊙O上截取長度等於半徑（2cm）的弦，連結AB、BC、CA即可.

(3)計算與尺規結合法：由正三角形的半徑與邊長的關係可得，正三角形的邊長= R=2（cm），用圓規在⊙O上截取長度為2（cm）的弦AB、AC，連結AB、BC、CA即可.

（三）研究、歸納

1、用量角器等分圓：

依據：等圓中相等的圓心角所對應的弧相等.

操作：兩種情況：其一是依次畫出相等的圓心角來等分圓，這種方法比較準確，但是麻煩；其二是先用量角器畫一個圓心角，然後在圓上依次截取等於該圓心角所對弧的等弧，於是得到圓的等分點，這種方法比較方便，但畫圖的誤差積累到最後一個等分點，使畫出的正多邊形的邊長誤差較大.

問題2：把半徑為2cm⊙O九等份.

（先畫半徑2cm的圓，然後把360°的圓心角9等份，每一份40°）

歸納：用量角器等分圓，方法簡便，可以把圓任意n等分，但有誤差.

2、用尺規等分圓：

（1）問題3：作正四邊形、正八邊形.

教師組織學生，分析、作圖.

歸納：只要作出已知⊙O的互相垂直的直徑即得圓內接正方形，再過圓心作各邊的垂線與⊙O相交，或作各中心角的角平分線與⊙O相交，即得圓接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形……

（2）問題4：作正六、三、十二邊形.

教師組織學生，分析、作圖.

歸納：先作出正六邊形，則可作正三角形，正十二邊形，正二十四邊形………理論上我們可以一直畫下去，但大家不難發現，隨著邊數的增加，正多邊形越來越接近於圓，正多邊形將越來越難畫.

（四）總結

（1）用量角器等分圓周作正n邊形；

（2）用尺規作正方形及由此擴展作正八邊形、用尺規作正六邊形及由此擴展作正12邊形、正三角形.

（五）作業  教材P173中13.

教學設計示例2

教學目標 ：

1、能套用解決實際問題；會畫正五邊形的近似圖；了解等分圓的美麗圖形；

2、通過運用正多邊形的有關計算和畫圖解決實際問題培養學生分析問題、解決問題的能力；

3、對學生進行審美教育和文化傳統教育和愛國教育；

4、滲透數學建模思想.

教學重點：

套用正多邊形的計算與畫圖解決實際問題.

教學難點 ：

數學模型的建立，和正多邊形的有關計算問題.

教學活動設計：

（一）知識回顧：

分別畫半徑2cm的圓內接正六邊形、內接正三角形、內接正十二邊形、內接正方形、內接正八邊形.

要求①尺規作圖；②說明畫法；③指出作圖依據；④學生獨立完成.

教師巡視，對畫的好的學生給於表揚，對有問題的學生給於指導.

（二）畫圖套用：

例1、有一個亭子，它的地基是半徑為4m的正八邊形，(1)用1∶200的比例尺畫出地基平面圖；(2)求地基的邊長a8(精確到0.01m)和面積S8(精確到0.1m2)

教師引導學生分析：①比例尺= ；②正八邊形的半徑R=2cm；③如何解正八邊形和近似計算.

（1）畫法：1.以任意一點O為圓心，以4m的 ，即2cm為半徑畫⊙O(如圖).

2.作⊙O的直徑AC、BD，使AC⊥BD.

3.作平分 、的直徑EG、FH.

4.順次連結AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA.

八邊形AEBFCGDH就是亭子地基的正八邊形.

（2）解（學生分析解題方法）：

（m）

（m）

（m2）

答：（略）

我國民間相傳有五邊形的近似畫法，畫法口訣是：“九五頂五九，八五兩邊分”，它的意義如圖：如果正五邊形的邊長為10，作它的中垂線AF，取AF=15.4，在AF上取FM=9.5，則AM=5.9，過點M作BE⊥AF，在BE上取BM=ME=8.連結AB、BC、DE、EA即可.

例2、用民間相傳畫法口訣，畫邊長為20mm的正五邊形.

分析：要畫邊長20mm的正五邊形，關鍵在於計算出口訣中各部分的尺寸，由於要畫的正五邊形與口訣正五邊形相似，所以要畫的正五邊形的各部分應與口訣正五邊形各部分對應成比例.由已知知道要畫正五邊形的邊CD=20mm.請同學們算出各部分的尺寸，並按口訣畫出正五邊形ABCDE.

（畫法：略.參看教材P170）

說明：雖然這種畫法是近似畫法，但是這種畫法的精確度卻是很高的.有能力的學生課下可以探究和計算.

通過正五邊形的民間近似畫法的教學弘揚民族文化，揭示其科學性，滲透實踐出真知的觀點.

（三）優美圖案欣賞和畫法：

請學生欣賞下列圖案，分析圖案結構，畫出圖案.

組織學生進行，可以讓學生獨立完成，也可以讓學生協作完成，對畫的較好的同學給予表彰.

（四）總結

1、運用正多邊形的知識解決實際問題；

2、學習了民間畫正五邊形的近似畫法；

3、學習了分解與組合有關正多邊形的幾何圖案.

（五）作業 

教材P171中練習1；P173中12；P173中14.

探究活動

圖案設計

某學校在教學樓前的圓形廣場中，準備建造一個花園，並在花園內分別種植牡丹、月季和杜鵑三種花卉。為了美觀，種植要求如下：

（1）種植4塊面積相等的牡丹、4塊面積相等的月季和一塊杜鵑。（注意：面積相等必須由數學知識作保證）

（2）花卉總面積等於廣場面積

（3）花園邊界只能種植牡丹花，杜鵑花種植在花園中間且與牡丹花沒有公共邊。

請你設計種植方案：（設計的方案越多越好；不同的方案類型不同.）

答案提示：

教學設計示例1

教學目標 ：

（1）了解用量角器等分圓心角來等分圓；掌握用尺規作圓內接正方形和正六邊形，能作圓內接正八邊形、正三角形、正十二邊形；

（2）通過畫圖培養學生的畫圖能力；

（3）對學生進行審美教育，提高學生的審美能力，促進學生對幾何學習的熱情.

教學重點：

(1)量角器等分圓心角來等分圓；

(2)尺規作圓內接正方形和正六邊形.

教學難點 ：

準確作圖.

教學活動設計：

（一）提出問題：

由於正多邊形在生產、生活實際中有廣泛的套用性，所以會應是學生必備能力之一.

問題1：已知⊙O的半徑為2cm，求作圓的內接正三角形.

教師組織學生進行，方法不限.

目的：充分發展學生的發散思維.

（二）解決問題：

以下為解決問題的參考方案：(上課時教師歸納學生的方法)

(1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°.

②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.

(2)尺規法：（如上右圖）用圓規在⊙O上截取長度等於半徑（2cm）的弦，連結AB、BC、CA即可.

(3)計算與尺規結合法：由正三角形的半徑與邊長的關係可得，正三角形的邊長= R=2（cm），用圓規在⊙O上截取長度為2（cm）的弦AB、AC，連結AB、BC、CA即可.

（三）研究、歸納

1、用量角器等分圓：

依據：等圓中相等的圓心角所對應的弧相等.

操作：兩種情況：其一是依次畫出相等的圓心角來等分圓，這種方法比較準確，但是麻煩；其二是先用量角器畫一個圓心角，然後在圓上依次截取等於該圓心角所對弧的等弧，於是得到圓的等分點，這種方法比較方便，但畫圖的誤差積累到最後一個等分點，使畫出的正多邊形的邊長誤差較大.

問題2：把半徑為2cm⊙O九等份.

（先畫半徑2cm的圓，然後把360°的圓心角9等份，每一份40°）

歸納：用量角器等分圓，方法簡便，可以把圓任意n等分，但有誤差.

2、用尺規等分圓：

（1）問題3：作正四邊形、正八邊形.

教師組織學生，分析、作圖.

歸納：只要作出已知⊙O的互相垂直的直徑即得圓內接正方形，再過圓心作各邊的垂線與⊙O相交，或作各中心角的角平分線與⊙O相交，即得圓接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形……

（2）問題4：作正六、三、十二邊形.

教師組織學生，分析、作圖.

歸納：先作出正六邊形，則可作正三角形，正十二邊形，正二十四邊形………理論上我們可以一直畫下去，但大家不難發現，隨著邊數的增加，正多邊形越來越接近於圓，正多邊形將越來越難畫.

（四）總結

（1）用量角器等分圓周作正n邊形；

（2）用尺規作正方形及由此擴展作正八邊形、用尺規作正六邊形及由此擴展作正12邊形、正三角形.

（五）作業  教材P173中13.

教學設計示例2

教學目標 ：

1、能套用解決實際問題；會畫正五邊形的近似圖；了解等分圓的美麗圖形；

2、通過運用正多邊形的有關計算和畫圖解決實際問題培養學生分析問題、解決問題的能力；

3、對學生進行審美教育和文化傳統教育和愛國教育；

4、滲透數學建模思想.

教學重點：

套用正多邊形的計算與畫圖解決實際問題.

教學難點 ：

數學模型的建立，和正多邊形的有關計算問題.

教學活動設計：

（一）知識回顧：

分別畫半徑2cm的圓內接正六邊形、內接正三角形、內接正十二邊形、內接正方形、內接正八邊形.

要求①尺規作圖；②說明畫法；③指出作圖依據；④學生獨立完成.

教師巡視，對畫的好的學生給於表揚，對有問題的學生給於指導.

（二）畫圖套用：

例1、有一個亭子，它的地基是半徑為4m的正八邊形，(1)用1∶200的比例尺畫出地基平面圖；(2)求地基的邊長a8(精確到0.01m)和面積S8(精確到0.1m2)

教師引導學生分析：①比例尺= ；②正八邊形的半徑R=2cm；③如何解正八邊形和近似計算.

（1）畫法：1.以任意一點O為圓心，以4m的 ，即2cm為半徑畫⊙O(如圖).

2.作⊙O的直徑AC、BD，使AC⊥BD.

3.作平分 、的直徑EG、FH.

4.順次連結AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA.

八邊形AEBFCGDH就是亭子地基的正八邊形.

（2）解（學生分析解題方法）：

（m）

（m）

（m2）

答：（略）

我國民間相傳有五邊形的近似畫法，畫法口訣是：“九五頂五九，八五兩邊分”，它的意義如圖：如果正五邊形的邊長為10，作它的中垂線AF，取AF=15.4，在AF上取FM=9.5，則AM=5.9，過點M作BE⊥AF，在BE上取BM=ME=8.連結AB、BC、DE、EA即可.

例2、用民間相傳畫法口訣，畫邊長為20mm的正五邊形.

分析：要畫邊長20mm的正五邊形，關鍵在於計算出口訣中各部分的尺寸，由於要畫的正五邊形與口訣正五邊形相似，所以要畫的正五邊形的各部分應與口訣正五邊形各部分對應成比例.由已知知道要畫正五邊形的邊CD=20mm.請同學們算出各部分的尺寸，並按口訣畫出正五邊形ABCDE.

（畫法：略.參看教材P170）

說明：雖然這種畫法是近似畫法，但是這種畫法的精確度卻是很高的.有能力的學生課下可以探究和計算.

通過正五邊形的民間近似畫法的教學弘揚民族文化，揭示其科學性，滲透實踐出真知的觀點.

（三）優美圖案欣賞和畫法：

請學生欣賞下列圖案，分析圖案結構，畫出圖案.

組織學生進行，可以讓學生獨立完成，也可以讓學生協作完成，對畫的較好的同學給予表彰.

（四）總結

1、運用正多邊形的知識解決實際問題；

2、學習了民間畫正五邊形的近似畫法；

3、學習了分解與組合有關正多邊形的幾何圖案.

（五）作業 

教材P171中練習1；P173中12；P173中14.

探究活動

圖案設計

某學校在教學樓前的圓形廣場中，準備建造一個花園，並在花園內分別種植牡丹、月季和杜鵑三種花卉。為了美觀，種植要求如下：

（1）種植4塊面積相等的牡丹、4塊面積相等的月季和一塊杜鵑。（注意：面積相等必須由數學知識作保證）

（2）花卉總面積等於廣場面積

（3）花園邊界只能種植牡丹花，杜鵑花種植在花園中間且與牡丹花沒有公共邊。

請你設計種植方案：（設計的方案越多越好；不同的方案類型不同.）

答案提示：

教學設計示例1

教學目標：

（1）了解用量角器等分圓心角來等分圓；掌握用尺規作圓內接正方形和正六邊形，能作圓內接正八邊形、正三角形、正十二邊形；

（2）通過畫圖培養學生的畫圖能力；

（3）對學生進行審美教育，提高學生的審美能力，促進學生對幾何學習的熱情.

教學重點：

(1)量角器等分圓心角來等分圓；

(2)尺規作圓內接正方形和正六邊形.

教學難點：

準確作圖.

教學活動設計：

（一）提出問題：

由於正多邊形在生產、生活實際中有廣泛的套用性，所以會應是學生必備能力之一.

問題1：已知⊙O的半徑為2cm，求作圓的內接正三角形.

教師組織學生進行，方法不限.

目的：充分發展學生的發散思維.

（二）解決問題：

以下為解決問題的參考方案：(上課時教師歸納學生的方法)

(1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°.

②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.

(2)尺規法：（如上右圖）用圓規在⊙O上截取長度等於半徑（2cm）的弦，連結AB、BC、CA即可.

(3)計算與尺規結合法：由正三角形的半徑與邊長的關係可得，正三角形的邊長=R=2（cm），用圓規在⊙O上截取長度為2（cm）的弦AB、AC，連結AB、BC、CA即可.

（三）研究、歸納

1、用量角器等分圓：

依據：等圓中相等的圓心角所對應的弧相等.

操作：兩種情況：其一是依次畫出相等的圓心角來等分圓，這種方法比較準確，但是麻煩；其二是先用量角器畫一個圓心角，然後在圓上依次截取等於該圓心角所對弧的等弧，於是得到圓的等分點，這種方法比較方便，但畫圖的誤差積累到最後一個等分點，使畫出的正多邊形的邊長誤差較大.

問題2：把半徑為2cm⊙O九等份.

（先畫半徑2cm的圓，然後把360°的圓心角9等份，每一份40°）

歸納：用量角器等分圓，方法簡便，可以把圓任意n等分，但有誤差.

2、用尺規等分圓：

（1）問題3：作正四邊形、正八邊形.

教師組織學生，分析、作圖.

歸納：只要作出已知⊙O的互相垂直的直徑即得圓內接正方形，再過圓心作各邊的垂線與⊙O相交，或作各中心角的角平分線與⊙O相交，即得圓接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形……

（2）問題4：作正六、三、十二邊形.

教師組織學生，分析、作圖.

歸納：先作出正六邊形，則可作正三角形，正十二邊形，正二十四邊形………理論上我們可以一直畫下去，但大家不難發現，隨著邊數的增加，正多邊形越來越接近於圓，正多邊形將越來越難畫.

（四）總結

（1）用量角器等分圓周作正n邊形；

（2）用尺規作正方形及由此擴展作正八邊形、用尺規作正六邊形及由此擴展作正12邊形、正三角形.

（五）作業  教材P173中13.

第 1 2 頁  

教學目標：

1、使學生了解用量角器等分圓心角來等分圓，從而可以作出圓內接或圓外切正多邊形.

2、使學生會用尺規作圓內接正方形和正六邊形，在這個基礎上能作圓內接正八邊形、正三角形、正十二邊形.

3、通過畫圖培養學生的畫圖能力；

4、通過畫正方形到會畫正八邊形，通過畫六邊形到畫三角形、正十二邊形，培養學生觀察、抽象、遷移能力.

5、通過畫圖中需減小積累誤差的思考與操作，培養學生解決實際問題的能力.

教學重點：

(1)用量角器等分圓心角來等分圓，然後作出圓內接或圓外切正多邊形；(2)用尺規作圓內接正方形和正六邊形.

教學難點：

準確作圖.

教學過程：

一、新課引入：

前幾課我們學習了正多邊形的定義、概念、性質、判定，尤其學習了正多邊形與圓關係的兩個定理，而後我們又學習了正多邊形的有關計算，本堂課我們一起學習畫正多邊形.

二、新課講解：

由於正多邊形在生產、生活實際中有廣泛的套用性，所以會畫正多邊形應是學生必備能力之一，前面已學習了正多邊形和圓的關係的第一個定理，即把圓分成n(n≥3)等份，依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形；過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形，所以想到只要知道外接圓半徑r或內切圓半徑rn，畫出圓來，然後n等分圓周就能畫出所需的正n邊形.

n等分圓周的方法有兩種，一種是量角器法，這一種方法簡單易學，它是一種常用的方法.其根據是因為相等的圓心角所對弧相等，所以使用量角器等分圓心角，可以達到把圓任意等分的目的，由於學生已具備使用量角器的能力，所以只要講明根據，讓學生動手操作即可.

另一種方法是用尺規等分圓周法，其實質也是等分圓心角，但尺規不能任意等分圓，只適用於一些特殊情況，其中重點是正方形和正六邊形的作法，這是因為正八邊形、正三角形、正十二邊形都是由此作基礎而畫出來的.

由於尺規作圖在理論上準確，但在實際操作中有誤差積累，如何減少誤差使圖形趨於準確？這是一個鍛鍊學生解決問題的好時機，應讓學生親手實驗、觀察對比，從而得出結論.

(三)重點、難點的學習與目標完成過程

複習提問：1.哪位同學記得正多邊形與圓關係的第一個定理？(安排中下生回答)2.哪位同學記得在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧有什麼性質？(安排中下生回答：相等的圓心角所對的弧相等)

現在我們要畫半徑為r的正n邊形，從正多邊形與圓關係的第一個定理中，你有什麼啟發？(安排學生相互討論後，讓中等生回答：只要把半徑為r的圓n等分，依次連結n個等分點就得正n邊形)那么怎樣把半徑為r的圓n等分呢？從剛才複習的第二問題中，你又受到什麼啟發？大家相互間討論.(安排中等生回答：把360°的圓心角n等分)如果要作半徑2cm的正九邊形，你打算如何作呢？大家互相討論看看.(安排中等生回答：先畫半徑2cm的圓，然後把360°的圓心角9等份，每一份40°)，用什麼工具可得到40°角呢？(安排中下生回答：量角器)我們本堂課所講畫正多邊形的第一種方法就是用量角器等分圓，大家用量角器畫出半徑為2的內接正九邊形.

學生在畫圖實踐中必然出現兩種情況：其一是依次畫出相等的圓心角來等分圓，這種方法比較準確，但是麻煩；其二是先用量角器畫一個40°的圓心角，然後在圓上依次截取40°圓心角所對弧的等弧，於是得到圓的9等分點，這種方法比較方便，但畫圖的誤差積累到最後一個等分點，使畫出的正九邊形的邊長誤差較大.對此學生必然迷惑不解，在此教師應肯定作法理論上的正確性，然後講出圖形不夠準確的原因是由於誤差積累的結果，然後引導學生討論，研究減小誤差積累的二個途徑：其一，調整圓規兩腳間的距離，使之儘可能準確的等於所畫正九邊形的邊長.其二，若有可能，儘可能減少操作次數，減少產生誤差的機會.

大家想想如何畫一個半徑為2cm的正方形呢？(安排中下生回答：先畫半徑2cm的圓，用量角器作90°的圓心角.)畫出∠aob=90°後，方法1，可依次作90°圓心角；方法2，用圓規依次截取等於ab的弧，大家觀察有沒有更好的方法？(安排中等生回答：將ao與bo邊延長交⊙o於c、d).正方形一邊所對的圓心角是90°角，不用量角器用尺規能不能做出90°的圓心角呢？用尺規如何作半徑為2cm的正方形？(安排中上等生回答，先作半徑2cm的圓，然後畫兩條互相垂直的直徑)

請同學們用尺規畫出半徑為2cm的正方形.

大家想想看，藉助這個圖形，能否作出⊙o的內接正八邊形？同學們互相研究研究，(安排中上生回答：能，過圓心o作正方形各邊的垂線與圓相交即得⊙o的八等分點)為什麼？根據什麼定理？(安排中上等生回答：垂徑定理)

還有什麼方法？(安排中上等生作各直角的角平分線.)

請同學們用此二法在圖上畫出正八邊形.

照此方法，同學們想想看，你還能畫出邊數為幾的正多邊形？(安排中下生回答：16邊形等)

綜上所述及同學們的畫圖實踐可知：只要作出已知⊙o的互相垂直的直徑即得圓內接正方形，再過圓心作各邊的垂線與⊙o相交，或作各中心角的角平分線與⊙o相交，即得圓接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形……

大家再思考一個問題：如何畫半徑為2cm的正六邊形呢？你都有哪些方法？大家討論.

方法1.畫半徑2cm的⊙o，然後用量角器畫60°的圓心角，依次畫下去即六等分圓周.

方法2.畫半徑2cm的⊙o，然後用量角器畫出60°的圓心角，

如果有同學想到方法3更好，若無則提示學生：前面在研究正多邊形的有關計算時，得到正六邊形的半徑與邊長有一種什麼樣的數量關係？(安排中下生回答：相等)那么哪位同學可不用量角器，僅用尺規作出半徑2cm的圓內接正六邊形？(安排一名中等生到黑板畫圖，其餘在下面畫圖)

在學生畫圖完畢後展示兩種不同的畫法：其一，在⊙o上依次截取ab=bc=cd=de=ef，由於誤差積累ab≠fa，其二，首先畫出⊙o的直徑ad，然後分別以a、d為圓心，2cm長為半徑畫弧交⊙o於b、f、c、e.畫出圖形比較準確.

請同學們用第二種方法畫半徑3cm的圓內接正六邊形(安排學生在練習本上畫)如果我們沿用由正方形畫正八邊形的思路同學們想想看，會畫正六邊形就應會畫正多少邊形？(安排中下生回答：正十二邊形，正二十四邊形…)理論上我們可以一直畫下去，但大家不難發現，隨著邊數的增加，正多邊形越來越接近於圓，正多邊形將越來越難畫.

大家再觀察，會畫正六邊形，除上述正多邊形外，還可得到正幾邊形？(安排中等生回答：正三角形)

畫半徑為2cm的正三角形，尺規作圖時必得先畫出正六邊形嗎？哪位同學有好方法？(安排舉手同學回答：畫出⊙o直徑ab，以a為圓心，2cm為半徑畫弧交⊙o於c、d，連結b、d、c即可)

請同學們按此法畫半徑為2cm的正三角形.

請同學們思考一下如何用尺規畫半徑為2cm的正十二邊形？

在學生充分討論研究的多種方案中送出：先作互相垂直的直徑，然後分別以直徑的四個端點為圓心2cm長為半徑畫弧，交⊙o的各點即得⊙o的12等分點.引導學生觀察∠doe=∠dob-∠eob

∠dob=90°，∠eob=60°∴∠doe=30°.

∴ de是⊙o內接正12邊形一邊.

三、課堂小結：

這堂課你學了哪些知識？(安排中等生回答：1.用量角器等分圓周作正n邊形；2.用尺規作正方形及由此擴展作正八邊形、用尺規作正六邊形及由此擴展作正12邊形、正三角形)

四、布置作業

教材p.168中練習1、2；p.173中13.

教學設計示例1

教學目標：

（1）了解用量角器等分圓心角來等分圓；掌握用尺規作圓內接正方形和正六邊形，能作圓內接正八邊形、正三角形、正十二邊形；

（2）通過畫圖培養學生的畫圖能力；

（3）對學生進行審美教育，提高學生的審美能力，促進學生對幾何學習的熱情.

教學重點：

(1)量角器等分圓心角來等分圓；

(2)尺規作圓內接正方形和正六邊形.

教學難點：

準確作圖.

教學活動設計：

（一）提出問題：

由於正多邊形在生產、生活實際中有廣泛的套用性，所以會應是學生必備能力之一.

問題1：已知⊙O的半徑為2cm，求作圓的內接正三角形.

教師組織學生進行，方法不限.

目的：充分發展學生的發散思維.

（二）解決問題：

以下為解決問題的參考方案：(上課時教師歸納學生的方法)

(1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°.

②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.

(2)尺規法：（如上右圖）用圓規在⊙O上截取長度等於半徑（2cm）的弦，連結AB、BC、CA即可.

(3)計算與尺規結合法：由正三角形的半徑與邊長的關係可得，正三角形的邊長=R=2（cm），用圓規在⊙O上截取長度為2（cm）的弦AB、AC，連結AB、BC、CA即可.

（三）研究、歸納

1、用量角器等分圓：

依據：等圓中相等的圓心角所對應的弧相等.

操作：兩種情況：其一是依次畫出相等的圓心角來等分圓，這種方法比較準確，但是麻煩；其二是先用量角器畫一個圓心角，然後在圓上依次截取等於該圓心角所對弧的等弧，於是得到圓的等分點，這種方法比較方便，但畫圖的誤差積累到最後一個等分點，使畫出的正多邊形的邊長誤差較大.

問題2：把半徑為2cm⊙O九等份.

（先畫半徑2cm的圓，然後把360°的圓心角9等份，每一份40°）

歸納：用量角器等分圓，方法簡便，可以把圓任意n等分，但有誤差.

2、用尺規等分圓：

（1）問題3：作正四邊形、正八邊形.

教師組織學生，分析、作圖.

歸納：只要作出已知⊙O的互相垂直的直徑即得圓內接正方形，再過圓心作各邊的垂線與⊙O相交，或作各中心角的角平分線與⊙O相交，即得圓接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形……

（2）問題4：作正六、三、十二邊形.

教師組織學生，分析、作圖.

歸納：先作出正六邊形，則可作正三角形，正十二邊形，正二十四邊形………理論上我們可以一直畫下去，但大家不難發現，隨著邊數的增加，正多邊形越來越接近於圓，正多邊形將越來越難畫.

（四）總結

（1）用量角器等分圓周作正n邊形；

（2）用尺規作正方形及由此擴展作正八邊形、用尺規作正六邊形及由此擴展作正12邊形、正三角形.

（五）作業  教材P173中13.

教學設計示例2

教學目標：

1、能套用解決實際問題；會畫正五邊形的近似圖；了解等分圓的美麗圖形；

2、通過運用正多邊形的有關計算和畫圖解決實際問題培養學生分析問題、解決問題的能力；

3、對學生進行審美教育和文化傳統教育和愛國教育；

4、滲透數學建模思想.

教學重點：

套用正多邊形的計算與畫圖解決實際問題.

教學難點：

數學模型的建立，和正多邊形的有關計算問題.

教學活動設計：

（一）知識回顧：

分別畫半徑2cm的圓內接正六邊形、內接正三角形、內接正十二邊形、內接正方形、內接正八邊形.

要求①尺規作圖；②說明畫法；③指出作圖依據；④學生獨立完成.

教師巡視，對畫的好的學生給於表揚，對有問題的學生給於指導.

（二）畫圖套用：

例1、有一個亭子，它的地基是半徑為4m的正八邊形，(1)用1∶200的比例尺畫出地基平面圖；(2)求地基的邊長a8(精確到0.01m)和面積S8(精確到0.1m2)

教師引導學生分析：①比例尺=；②正八邊形的半徑R=2cm；③如何解正八邊形和近似計算.

（1）畫法：1.以任意一點O為圓心，以4m的 ，即2cm為半徑畫⊙O(如圖).

2.作⊙O的直徑AC、BD，使AC⊥BD.

3.作平分 、的直徑EG、FH.

4.順次連結AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA.

八邊形AEBFCGDH就是亭子地基的正八邊形.

（2）解（學生分析解題方法）：

（m）

（m）

（m2）

答：（略）

我國民間相傳有五邊形的近似畫法，畫法口訣是：“九五頂五九，八五兩邊分”，它的意義如圖：如果正五邊形的邊長為10，作它的中垂線AF，取AF=15.4，在AF上取FM=9.5，則AM=5.9，過點M作BE⊥AF，在BE上取BM=ME=8.連結AB、BC、DE、EA即可.

例2、用民間相傳畫法口訣，畫邊長為20mm的正五邊形.

分析：要畫邊長20mm的正五邊形，關鍵在於計算出口訣中各部分的尺寸，由於要畫的正五邊形與口訣正五邊形相似，所以要畫的正五邊形的各部分應與口訣正五邊形各部分對應成比例.由已知知道要畫正五邊形的邊CD=20mm.請同學們算出各部分的尺寸，並按口訣畫出正五邊形ABCDE.

（畫法：略.參看教材P170）

說明：雖然這種畫法是近似畫法，但是這種畫法的精確度卻是很高的.有能力的學生課下可以探究和計算.

通過正五邊形的民間近似畫法的教學弘揚民族文化，揭示其科學性，滲透實踐出真知的觀點.

（三）優美圖案欣賞和畫法：

請學生欣賞下列圖案，分析圖案結構，畫出圖案.

教學弘揚民族文化，揭示其科學性，滲透實踐出真知的觀點.

（三）優美圖案欣賞和畫法：

請學生欣賞下列圖案，分析圖案結構，畫出圖案.

組織學生進行，可以讓學生獨立完成，也可以讓學生協作完成，對畫的較好的同學給予表彰.

（四）總結

1、運用正多邊形的知識解決實際問題；

2、學習了民間畫正五邊形的近似畫法；

3、學習了分解與組合有關正多邊形的幾何圖案.

（五）作業 

教材P171中練習1；P173中12；P173中14.

探究活動

圖案設計

某學校在教學樓前的圓形廣場中，準備建造一個花園，並在花園內分別種植牡丹、月季和杜鵑三種花卉。為了美觀，種植要求如下：

（1）種植4塊面積相等的牡丹、4塊面積相等的月季和一塊杜鵑。（注意：面積相等必須由數學知識作保證）

（2）花卉總面積等於廣場面積

（3）花園邊界只能種植牡丹花，杜鵑花種植在花園中間且與牡丹花沒有公共邊。

請你設計種植方案：（設計的方案越多越好；不同的方案類型不同.）

答案提示：

教學目標：

1、使學生能套用畫正多邊形解決實際問題；

2、會套用“口訣”畫正五邊形的近似圖；

3、能對較複雜的幾何圖形進行分解，然後通過畫正多邊形進行組合.

4、通過解決實際問題培養學生會從實際問題中抽象出數學模型的抽象能力及用數學意識；

5、通過運用正多邊形的有關計算和畫圖解決實際問題培養學生分析問題、解決問題的能力；

6、通過對民間正五邊形近似畫法依據的探索，培養學生探索問題的能力；

7、通過有關圖形的分解與組合培養學生的觀察能力、分解組合能力以及畫圖能力.

教學重點：

套用正多邊形的計算與畫圖解決實際問題

教學難點：

從實際問題中抽象出數學模型，然後正確運用正多邊形的有關計算，畫圖知識解決問題.

教學過程：

一、新課引入：

上節課我們學習了運用量角器等分圓周畫正多邊形和運用尺規畫特殊的正多邊形，這節課我們繼續研究正多邊形的畫法在實際問題中的套用等.

二、新課講解：

在前幾課學習了正多邊形的有關計算和畫法的基礎上系統複習本部分內容並會綜合運用解決實際問題.本節有關“地基”問題的例題就是通過複習正方形畫法進而畫正八邊形，並對正八邊形進行有關計算.通過此例不僅複習了正多邊形的畫法、計算，而且複習了查三角函式表，解直角三角形的方法，更為重要的是培養了學生從實際問題中抽象出數學模型的能力，從而提高學生分析問題、解決問題的能力.通過正五邊形的民間近似畫法的教學弘揚民族文化，揭示其科學性，滲透實踐出真知的觀點.

上節課我們學習了正多邊形的畫法，哪位同學能敘述用量角器等分圓法畫半徑3cm的正十邊形？(安排中等生回答：先畫出半徑3cm的圓⊙o，然後用量角器畫出36°的中心角，然後依次畫36°的中心角，或者用圓規量出36°中心角所對弦長，依次截取即得正十邊形)出現誤差積累應如何處理？(安排中等生回答：1)適當調節正十邊形的邊長，2)可能情況下，重新設計畫圖步驟，減少產生誤差的機會)

安排五名學生上黑板分別畫半徑3cm的圓內接正六邊形、內接正三角形、內接正十二邊形、內接正方形、內接正八邊形，其餘學生在下面畫，然後師生共同評價所畫圖形的準確性.

幻燈給出題目，如圖7-152，有一個亭子，它的地基是半徑為4m的正八邊形，(1)用1∶200的比例尺畫出地基平面圖；(2)求地基的邊長a8(精確到0.01m)和面積s8(精確到0.1m2)

哪位同學知道亭子的地基指的是哪個地方？(安排知道的學生回答)哪位同學記得，什麼是比例尺？(安排中下生回答，

面圖上正八邊形的半徑應是多少？(安排中下生回答：r=2cm)

請同學們畫出這個地基平面圖.

大家回憶一下，怎樣求正八邊形的邊長？具體步驟是什麼？(安排中等生回答：首先畫出基本計算圖，然後算出中心角的一半，∠aoc=22°30′.然後選三角函式)請同學們計算這個正八邊形的邊長.(a8≈3.06(m))

pn·rn)，現在要求這個正八邊形的面積，邊長已求出，周長自然知，還需求邊心距，哪位同學告訴我，求r8應選什麼三角函式？(安排中下生回答：選∠aoc的餘弦)請同學們求出r8來.(r8≈3.70(m))請同學們計算出這個地基的面積.(s8≈45.3(m2))

我國民間相傳有五邊形的近似畫法，畫法口訣是：“頂五九，八五兩邊分”，它的意義如圖：(幻燈展示)，如果正五邊形的邊長為10，作它的中垂線af，取af=15.4，在af上取fm=9.5，則am=5.9，過點m作be⊥af，在be上取bm=me=8.連結ab、bc、de、ea即可.

例  用民間相傳畫法口訣，畫邊長為20mm的正五邊形.

分析：要畫邊長20mm的正五邊形，關鍵在於計算出口訣中各部分的尺寸，由於要畫的正五邊形與口訣正五邊形相似，所以要畫的正五邊形的各部分應與口訣正五邊形各部分對應成比例，由於口訣給出的是正五邊形的各部分的比例數，所以不妨設口訣正五邊形的邊cd=10mm.由已知知道要畫正五邊形的邊c′d′=20mm，因此可知要畫的正五邊形與口訣正五邊形的相似比為2∶1，因此只要將口訣正五邊形的各部分尺寸×2即得要畫的正五邊形的各部分尺寸.請同學們算出各部分的尺寸，並按口訣畫出正五邊形a′b′c′d′e′(安排一中等生上黑板畫，其餘同學在練習本上畫)

雖然這種畫法是近似畫法，但是這種畫法的精確度卻是很高的，哪位同學知道在五邊形abcde中∠cad的度數是多少？(中上生回答：36°，因正五邊形每一內角108°，ab=bc  ∴∠bac=36°，同理∠dae=36°∴∠cad=36°)當然△cad為頂角36°的等腰三角形，為什麼？(中等生回答：∵△abc≌aed(s.a.s)，∴ac=ad.)前面

取2.24作近似值，大家計算ac等於多少？(16.2)ac≈16.2也可說ac

af≈15.4)剛才計算ac≈16.2，那么bm≈8.1，由於ab=10，請大家計算am又應等多少？(am≈5.9)剛才算出af≈15.4，am≈5.9，那么mf顯然約為9.5.至此我們已將口訣中的所有數據的來源探索清楚，從而證明我國民間的這種正五邊形的近似畫法精確度還是很高的.

幻燈給出下列圖案：

請同學們觀察這兩個圖形是怎么畫出來的，先看第一圖形，哪位同學知道 的圓心和半徑？(安排中上生回答： 中點是圓心，oa長是半徑)同理 的圓心是 的中點， 的圓心是 的中點，哪位同學發現這三個圓心與a、b、c三點恰好是圓o的什麼點？(安排中下生回答：六等分點)

請同學們畫出這個圖形.

請同學們觀察第二個圖形，花瓣與⊙o的交點恰是⊙o的什麼點？

是半徑).

請同學們畫出這個幾何圖案.

三、課堂小結：

本節課我們複習了正多邊形的畫法和有關計算，並運用這些知識去解決實際問題，學習了民間畫正五邊形的近似畫法並對其科學性進行了探討，最後學習了分解與組合有關正多邊形的幾何圖案.

四、布置作業

教材p.171中練習1；p.173中12；p.173中14.

教學設計示例1

教學目標 ：

（1）了解用量角器等分圓心角來等分圓；掌握用尺規作圓內接正方形和正六邊形，能作圓內接正八邊形、正三角形、正十二邊形；

（2）通過畫圖培養學生的畫圖能力；

（3）對學生進行審美教育，提高學生的審美能力，促進學生對幾何學習的熱情.

教學重點：

(1)量角器等分圓心角來等分圓；

(2)尺規作圓內接正方形和正六邊形.

教學難點 ：

準確作圖.

教學活動設計：

（一）提出問題：

由於正多邊形在生產、生活實際中有廣泛的套用性，所以會畫正多邊形應是學生必備能力之一.

問題1：已知⊙O的半徑為2cm，求作圓的內接正三角形.

教師組織學生進行，方法不限.

目的：充分發展學生的發散思維.

（二）解決問題：

以下為解決問題的參考方案：(上課時教師歸納學生的方法)

(1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°.

②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.

(2)尺規法：（如上右圖）用圓規在⊙O上截取長度等於半徑（2cm）的弦，連結AB、BC、CA即可.

(3)計算與尺規結合法：由正三角形的半徑與邊長的關係可得，正三角形的邊長=R=2（cm），用圓規在⊙O上截取長度為2（cm）的弦AB、AC，連結AB、BC、CA即可.

（三）研究、歸納

1、用量角器等分圓：

依據：等圓中相等的圓心角所對應的弧相等.

操作：兩種情況：其一是依次畫出相等的圓心角來等分圓，這種方法比較準確，但是麻煩；其二是先用量角器畫一個圓心角，然後在圓上依次截取等於該圓心角所對弧的等弧，於是得到圓的等分點，這種方法比較方便，但畫圖的誤差積累到最後一個等分點，使畫出的正多邊形的邊長誤差較大.

問題2：把半徑為2cm⊙O九等份.

（先畫半徑2cm的圓，然後把360°的圓心角9等份，每一份40°）

歸納：用量角器等分圓，方法簡便，可以把圓任意n等分，但有誤差.

2、用尺規等分圓：

（1）問題3：作正四邊形、正八邊形.

教師組織學生，分析、作圖.

歸納：只要作出已知⊙O的互相垂直的直徑即得圓內接正方形，再過圓心作各邊的垂線與⊙O相交，或作各中心角的角平分線與⊙O相交，即得圓接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形……

（2）問題4：作正六、三、十二邊形.

教師組織學生，分析、作圖.

歸納：先作出正六邊形，則可作正三角形，正十二邊形，正二十四邊形………理論上我們可以一直畫下去，但大家不難發現，隨著邊數的增加，正多邊形越來越接近於圓，正多邊形將越來越難畫.

（四）總結

（1）用量角器等分圓周作正n邊形；

（2）用尺規作正方形及由此擴展作正八邊形、用尺規作正六邊形及由此擴展作正12邊形、正三角形.

（五）作業  教材P173中13.

教學設計示例2

教學目標 ：

1、能套用畫正多邊形解決實際問題；會畫正五邊形的近似圖；了解等分圓的美麗圖形；

2、通過運用正多邊形的有關計算和畫圖解決實際問題培養學生分析問題、解決問題的能力；

3、對學生進行審美教育和文化傳統教育和愛國教育；

4、滲透數學建模思想.

教學重點：

套用正多邊形的計算與畫圖解決實際問題.

教學難點 ：

數學模型的建立，和正多邊形的有關計算問題.

教學活動設計：

（一）知識回顧：

分別畫半徑2cm的圓內接正六邊形、內接正三角形、內接正十二邊形、內接正方形、內接正八邊形.

要求①尺規作圖；②說明畫法；③指出作圖依據；④學生獨立完成.

教師巡視，對畫的好的學生給於表揚，對有問題的學生給於指導.

（二）畫圖套用：

例1、有一個亭子，它的地基是半徑為4m的正八邊形，(1)用1∶200的比例尺畫出地基平面圖；(2)求地基的邊長a8(精確到0.01m)和面積S8(精確到0.1m2)

教師引導學生分析：①比例尺=；②正八邊形的半徑R=2cm；③如何解正八邊形和近似計算.

（1）畫法：1.以任意一點O為圓心，以4m的 ，即2cm為半徑畫⊙O(如圖).

2.作⊙O的直徑AC、BD，使AC⊥BD.

3.作平分 、的直徑EG、FH.

4.順次連結AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA.

八邊形AEBFCGDH就是亭子地基的正八邊形.

（2）解（學生分析解題方法）：

（m）

（m）

（m2）

答：（略）

我國民間相傳有五邊形的近似畫法，畫法口訣是：“九五頂五九，八五兩邊分”，它的意義如圖：如果正五邊形的邊長為10，作它的中垂線AF，取AF=15.4，在AF上取FM=9.5，則AM=5.9，過點M作BE⊥AF，在BE上取BM=ME=8.連結AB、BC、DE、EA即可.

例2、用民間相傳畫法口訣，畫邊長為20mm的正五邊形.

分析：要畫邊長20mm的正五邊形，關鍵在於計算出口訣中各部分的尺寸，由於要畫的正五邊形與口訣正五邊形相似，所以要畫的正五邊形的各部分應與口訣正五邊形各部分對應成比例.由已知知道要畫正五邊形的邊CD=20mm.請同學們算出各部分的尺寸，並按口訣畫出正五邊形ABCDE.

（畫法：略.參看教材P170）

說明：雖然這種畫法是近似畫法，但是這種畫法的精確度卻是很高的.有能力的學生課下可以探究和計算.

通過正五邊形的民間近似畫法的教學弘揚民族文化，揭示其科學性，滲透實踐出真知的觀點.

（三）優美圖案欣賞和畫法：

請學生欣賞下列圖案，分析圖案結構，畫出圖案.

組織學生進行，可以讓學生獨立完成，也可以讓學生協作完成，對畫的較好的同學給予表彰.

（四）總結

1、運用正多邊形的知識解決實際問題；

2、學習了民間畫正五邊形的近似畫法；

3、學習了分解與組合有關正多邊形的幾何圖案.

（五）作業 

教材P171中練習1；P173中12；P173中14.

探究活動

圖案設計

某學校在教學樓前的圓形廣場中，準備建造一個花園，並在花園內分別種植牡丹、月季和杜鵑三種花卉。為了美觀，種植要求如下：

（1）種植4塊面積相等的牡丹、4塊面積相等的月季和一塊杜鵑。（注意：面積相等必須由數學知識作保證）

（2）花卉總面積等於廣場面積

（3）花園邊界只能種植牡丹花，杜鵑花種植在花園中間且與牡丹花沒有公共邊。

請你設計種植方案：（設計的方案越多越好；不同的方案類型不同.）

多邊形 篇1

【知識要點】

1.三角形：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次連結所圍成的封閉圖形叫做三角形

這三條線段叫做這個三角形的邊；（AB、BC、CA）

相鄰兩條邊的公共端點叫做這個三角形的頂點；（A、B、C）

相鄰兩條邊所夾的角叫做這個三角形的內角，又叫做這個三角形的角（∠A、∠B、∠C）

三角形的內角的鄰補角叫做這個三角形的外角

2.三角形的表示為△ABC

3.三角形的三條重要線段：高、中線、內角平分線（三條高所在的直線都交於一點，這個點叫

做三角形的垂心；三條中線交於一點，這個點叫做三角形的重心；

三條內角平分線交於一點，這個點叫做三角形的內心）

4.三角形內角和定理以及相關的結論

（1）三角形的內角和為180°

（2）直角三角形的兩個銳角互余

（3）三角形的外角和為360°

（4）三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和

（5）三角形的一個外角大於與它不相鄰的任何一個內角

5.三角形的三邊關係定理

三角形的任意兩邊之和都大於第三條邊；任意兩邊之差都小於第三條邊

6.三角形具有穩定性

7.：由在同一平面內，不在同一直線上的若干條線段首尾順次連線所圍成的封閉圖形叫

做

這些線段叫做這個的邊；

相鄰兩條邊的公共端點叫做這個的頂點；

相鄰兩條邊所夾的角叫做這個的內角，又叫做這個的角

的內角的鄰補角叫做這個的外角

8.對角線：連結不相鄰的兩個頂點的線段叫做的對角線

由一個頂點出發的對角線有（n－3）條；（n表示邊數）